c) J=gamma / r, onde r é a distância ao eixo central do fio.
Resp.
Constante r r>R
a) alpha=3 I2 pi R^3 B=muo I2 pi r^2R^3 B=muo I2 pi r
b) beta=2 Ipi R^4 B=muo I2 pi r^3R^4 B=muo I2 pi r
c) gamma=I2 pi R B=muo I2 pi R B=muo I2 pi r

Passo 1

Vamos lá! O enunciado diz que a densidade de corrente é igual a , onde é a distância do ponto ao eixo central do fio. Nosso objetivo é encontrar a expressão do campo magnético tanto para pontos dentro do fio ( ) quanto para fora do fio ( ). Para isso, vamos usar a Lei de Ampère, que relaciona o campo magnético ao redor de um condutor com a corrente que passa por ele.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a Lei de Ampère. Ela afirma que a integral do campo magnético oint B cdot dl = mu0 I ao longo de um caminho fechado é igual à permeabilidade do vácuo multiplicada pela corrente total que atravessa o caminho:
Para simetria cilíndrica, como no caso de um fio longo e reto, o campo magnético tem a mesma magnitude em todos os pontos a uma distância do eixo e é tangente ao caminho circular de raio .

Passo 3

Vamos calcular a corrente total I = integral J , dA = integral0^r gammar' cdot 2pi r' dr' = 2pi gamma integral0^r dr' = 2pi gamma r que atravessa o caminho de raio . Dado que , a corrente total é a integral da densidade de corrente sobre a área do círculo de raio :
Portanto, .

Passo 4

Aplicando a Lei de Ampère:
B cdot 2pi r = mu0 I implies B = mu0 I2pi r
Substituindo B = mu0 cdot 2pi gamma r2pi r = mu0 gamma :
Então, para , o campo magnético é constante e igual a .

Passo 5

Agora, para I = integral J , dA = integral0^R gammar' cdot 2pi r' dr' = 2pi gamma R , a corrente total B cdot 2pi r = mu0 I implies B = mu0 I2pi r = mu0 cdot 2pi gamma R2pi r = mu0 gamma Rr que atravessa o caminho é a corrente total no fio, que pode ser encontrada integrando a densidade de corrente até :
Aplicando novamente a Lei de Ampère:
Então, para , o campo magnético varia inversamente com .

Resposta

A opção correta é a c):
gamma = I2pi R, B = mu0 I2pi R & para r < R mu0 I2pi r & para r > R

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