Uma espira circular, de raio r=10 cm é colocada num campo magnético uniforme B=0,80 T, perpendicular ao plano da espira. O raio dessa espira começa a encolher a uma taxa constante 80 cm / s.
(A) qual é a fem induzida nessa espira?
(B) a que taxa constante a área da espira teria de encolher, a fim de induzir a mesma fem?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos uma espira circular com raio de 10 cm colocada num campo magnético de 0,80 T, perpendicular ao plano da espira. O raio está diminuindo a uma taxa constante de 80 cm/s. Vamos usar conceitos de eletromagnetismo, especificamente a Lei de Faraday da Indução Eletromagnética, para encontrar a fem induzida na espira e a taxa de variação da área que produziria a mesma fem.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI) para facilitar os cálculos.
  • Raio inicial,
  • Taxa de variação do raio, (o sinal negativo indica que o raio está diminuindo)

Passo 3

A Lei de Faraday nos diz que a fem induzida ( E = -dPhiBdt ) em uma espira é dada por:
PhiB = B cdot A
Onde A = pi r^2 é o fluxo magnético. Como o campo magnético está perpendicular à espira, o fluxo magnético é:
E a área da espira circular é:

Passo 4

Vamos substituir PhiB = B cdot pi r^2 na expressão do fluxo magnético:
dPhiBdt = B cdot pi cdot 2r cdot drdt
Agora, vamos derivar em relação ao tempo:

Passo 5

Substituindo na fórmula da fem induzida:
E = -dPhiBdt = -B cdot pi cdot 2r cdot drdt
Agora, vamos inserir os valores conhecidos:
E = -0,80 , T cdot pi cdot 2 cdot 0,10 , m cdot (-0,80 , m/s)

Passo 6

Vamos calcular passo a passo:
E = -0,80 cdot pi cdot 0,20 cdot (-0,80) = -0,80 cdot pi cdot 0,20 cdot (-0,80)
Primeiro, multiplicamos os números:
-0,80 cdot (-0,80) = 0,64
Então:
E = 0,64 cdot pi cdot 0,20 = 0,64 cdot 0,20 cdot pi = 0,128 cdot pi

Passo 7

Calculando o valor numérico:
E approx 0,128 cdot 3,1416 approx 0,4024 , V
Arredondando, temos:
E approx 0,40 , V

Passo 8

Agora, vamos para a parte (B). Queremos encontrar a taxa de variação da área ( E = -B cdot dAdt ) que produziria a mesma fem induzida de 0,40 V.
Usando a Lei de Faraday novamente:
dAdt = -EB
Rearranjando para encontrar :

Passo 9

Substituindo os valores:
dAdt = -0,40 , V0,80 , T = -0,50 , m^2/s
O sinal negativo indica que a área está diminuindo, o que faz sentido já que queremos uma fem positiva quando a área diminui no campo magnético.

Resposta

(B) A área da espira deve encolher a uma taxa constante de 0,50 m²/s para induzir a mesma fem.

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