Mostre que o produto escalar entre os campos elétrico e magnético num certo ponto do espaço-tempo independe do referencial inercial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que o produto escalar entre os campos elétrico e magnético num ponto do espaço-tempo não muda quando a gente muda o referencial inercial. Isso está dentro da matéria de Eletromagnetismo e Relatividade Especial. Para resolver isso, vamos precisar entender como os campos elétrico e magnético se transformam quando mudamos de referencial e, depois, calcular o produto escalar nesses referenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto escalar. O produto escalar entre dois vetores, digamos e , é dado por:
Isso significa que é a soma das multiplicações das componentes correspondentes dos vetores.

Passo 3

Agora, precisamos entender como os campos elétrico e magnético se transformam quando mudamos o referencial. Segundo a Relatividade Especial, se mudarmos para um referencial que se move com velocidade em relação ao original, as componentes dos campos se transformam da seguinte forma (assumindo que a velocidade é na direção x):
Aqui, é o fator de Lorentz e é a velocidade da luz.

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar no novo referencial:
Substituindo as transformações que vimos:

Passo 5

Vamos expandir os termos:
Distribuindo as multiplicações dentro dos parênteses:

Passo 6

Somando esses resultados:
Observamos que alguns termos se cancelam:
  • e se anulam.
  • e também se cancelam.
Ficando:

Passo 7

Agora, voltando à expressão do produto escalar:
Fatorando:
Sabemos que , pois:
Então:

Resposta

Assim, mostramos que , ou seja, o produto escalar entre os campos elétrico e magnético é o mesmo em qualquer referencial inercial.

Exercícios relacionados

Considere um fio infinito ao longo do eixo x. Este fio possui seção transversal e é percorrido por uma corrente elétrica indo para a esquerda, decorrente do movimento dos elétrons para a direita com velocidade média igual a
onde é a densidade das cargas negativas em módulo. O fio é eletricamente neutro, de modo que a densidade das cargas positivas, que estão em repouso, também é igual a . Determine o campo magnético desse fio da seguinte forma:
a) considere (S) o referencial no qual o fio (e as cargas positivas) estão em repouso e (S
b) determine o campo elétrico das cargas positivas em (S) (use lei de Gauss: fluxo do campo elétrico carga interna (no sistema Gaussiano));
c) determine o campo elétrico das cargas negativas no referencial (
e) Some o resultado com o campo elétrico das cargas positivas e analise o que sobra: você deve encontrar exatamente o campo magnético que você poderia ter calculado usando a lei de Ampère: . onde é a corrente que atravessa o contorno ao redor do fio.
Considere dois quadrivetores (por exemplo, quaisquer 2 da lista que já identificamos, (ct, ) ou ou ). Mostre que o produto escalar
é um invariante.
Obtenha o campo magnético de uma carga em movimento com velocidade constante de magnitude . Como são as linhas de campo? Como elas se alteram à mediada que a carga
vai mudando de posição? Como o campo magnético se altera quando a velocidade se aproxima da velocidade da luz?
Calcule os seguintes limites: pto cada item)
(a)