Mostre que o produto escalar entre os campos elétrico e magnético num certo ponto do espaço-tempo independe do referencial inercial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que o produto escalar entre os campos elétrico e magnético num ponto do espaço-tempo não muda quando a gente muda o referencial inercial. Isso está dentro da matéria de Eletromagnetismo e Relatividade Especial. Para resolver isso, vamos precisar entender como os campos elétrico e magnético se transformam quando mudamos de referencial e, depois, calcular o produto escalar nesses referenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o produto escalar. O produto escalar entre dois vetores, digamos e , é dado por:
Isso significa que é a soma das multiplicações das componentes correspondentes dos vetores.
Passo 3
Agora, precisamos entender como os campos elétrico e magnético se transformam quando mudamos o referencial. Segundo a Relatividade Especial, se mudarmos para um referencial que se move com velocidade em relação ao original, as componentes dos campos se transformam da seguinte forma (assumindo que a velocidade é na direção x):
Aqui, é o fator de Lorentz e é a velocidade da luz.
Passo 4
Vamos calcular o produto escalar no novo referencial:
Substituindo as transformações que vimos:
Passo 5
Vamos expandir os termos:
Distribuindo as multiplicações dentro dos parênteses:
Passo 6
Somando esses resultados:
Observamos que alguns termos se cancelam:
e se anulam.
e também se cancelam.
Ficando:
Passo 7
Agora, voltando à expressão do produto escalar:
Fatorando:
Sabemos que , pois:
Então:
Resposta
Assim, mostramos que , ou seja, o produto escalar entre os campos elétrico e magnético é o mesmo em qualquer referencial inercial.