Mostre que o produto escalar E cdot B entre os campos elétrico e magnético num certo ponto do espaço-tempo independe do referencial inercial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que o produto escalar entre os campos elétrico e magnético num ponto do espaço-tempo não muda quando a gente muda o referencial inercial. Isso está dentro da matéria de Eletromagnetismo e Relatividade Especial. Para resolver isso, vamos precisar entender como os campos elétrico e magnético se transformam quando mudamos de referencial e, depois, calcular o produto escalar nesses referenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto escalar. O produto escalar entre dois vetores, digamos A cdot B = Ax Bx + Ay By + Az Bz e , é dado por:
Isso significa que é a soma das multiplicações das componentes correspondentes dos vetores.

Passo 3

Agora, precisamos entender como os campos elétrico e magnético se transformam quando mudamos o referencial. Segundo a Relatividade Especial, se mudarmos para um referencial que se move com velocidade E'x = Ex em relação ao original, as componentes dos campos se transformam da seguinte forma (assumindo que a velocidade é na direção x):
E'y = gamma (Ey - v Bz)
E'z = gamma (Ez + v By)
B'x = Bx
B'y = gamma (By + vc^2 Ez)
B'z = gamma (Bz - vc^2 Ey)
Aqui, é o fator de Lorentz e é a velocidade da luz.

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar E' cdot B' = E'x B'x + E'y B'y + E'z B'z no novo referencial:
E' cdot B' = Ex Bx + gamma (Ey - v Bz) gamma (By + vc^2 Ez) + gamma (Ez + v By) gamma (Bz - vc^2 Ey)
Substituindo as transformações que vimos:

Passo 5

Vamos expandir os termos:
E' cdot B' = Ex Bx + gamma^2 [ (Ey - v Bz)(By + vc^2 Ez) + (Ez + v By)(Bz - vc^2 Ey) ]
Distribuindo as multiplicações dentro dos parênteses:
(Ey - v Bz)(By + vc^2 Ez) = Ey By + vc^2 Ey Ez - v Bz By - v^2c^2 Bz Ez
(Ez + v By)(Bz - vc^2 Ey) = Ez Bz - vc^2 Ez Ey + v By Bz - v^2c^2 By Ey

Passo 6

Somando esses resultados:
Ey By + vc^2 Ey Ez - v Bz By - v^2c^2 Bz Ez + Ez Bz - vc^2 Ez Ey + v By Bz - v^2c^2 By Ey
Observamos que alguns termos se cancelam:
  • Ey By + Ez Bz - v^2c^2 (Bz Ez + By Ey) e se anulam.
  • e também se cancelam.
Ficando:

Passo 7

Agora, voltando à expressão do produto escalar:
E' cdot B' = Ex Bx + gamma^2 ( Ey By + Ez Bz - v^2c^2 (Bz Ez + By Ey) )
Fatorando:
E' cdot B' = Ex Bx + gamma^2 (Ey By + Ez Bz) (1 - v^2c^2)
Sabemos que gamma^2 (1 - v^2c^2) = 11 - v^2c^2 (1 - v^2c^2) = 1 , pois:
E' cdot B' = Ex Bx + Ey By + Ez Bz = E cdot B
Então:

Resposta

Assim, mostramos que , ou seja, o produto escalar entre os campos elétrico e magnético é o mesmo em qualquer referencial inercial.

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