Considere um fio longo eléctrico com um diâmetro d=2.3 cm e condutividade térmica de kf=1.0 W /(m K), onde há uma geração uniforme de calor gp=0.06 W / cm 3. O fio está isolado com um material plástico de espessura e=0.4 cm e condutividade ki=0.4 W /(m K). A superfície exterior do plástico perde calor para o ambiente Ta=27 oC, existindo um coeficiente de convecção h=12 W /(m 2 oC). Determine a temperatura ( oC ) no centro do fio eléctrico.

Passo 1

Então, a gente tem um fio elétrico bem longo com algumas características específicas: diâmetro de 2,3 cm, condutividade térmica de 1,0 W/(m·K) e geração uniforme de calor de 0,06 W/cm³. Esse fio está coberto por um isolamento plástico de 0,4 cm de espessura e condutividade térmica de 0,4 W/(m·K). Além disso, a superfície externa do plástico está perdendo calor para o ambiente que está a 27°C, com um coeficiente de convecção de 12 W/(m²·°C). A gente vai precisar usar conceitos de condução de calor em materiais cilíndricos, transferência de calor por condução e convecção, além de considerar a geração interna de calor para descobrir qual é a temperatura no centro do fio elétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional para facilitar os cálculos. O diâmetro do fio é de 2,3 cm, então o raio $ r_f $ é metade disso:
rf
A espessura do isolamento plástico $ e $ é de 0,4 cm, então o raio externo do isolamento $ r_i $ é:
rf = 2,3, cm2 = 1,15, cm = 0,0115, m

Passo 3

Vamos calcular a geração de calor por unidade de volume $ g_p $:
gp

Passo 4

Agora, vamos calcular a geração total de calor por unidade de comprimento $ Q’ $ do fio. Para isso, usamos a fórmula:
Q' Áçã
Como queremos por unidade de comprimento, simplificamos:
Q' = gp times Área da seção times Comprimento
Substituindo os valores:
Q' = gp times pi rf^2

Passo 5

Agora, vamos considerar as resistências térmicas envolvidas no caminho do calor desde o centro do fio até o ambiente. Temos três resistências:
  1. Condução através do fio elétrico.
  2. Condução através do isolamento plástico.
  3. Convecção para o ambiente.
A temperatura no centro do fio será influenciada por todas essas resistências.

Passo 6

Vamos calcular a resistência térmica por unidade de comprimento para cada etapa:
Resistência na condução do fio elétrico $ R_f $:
Rf
Substituindo os valores:
Rf = ln(ri / rf)2 pi kf
Resistência na condução do isolamento $ R_i $:
Rf = ln(0,0155 / 0,0115)2 times 3,1416 times 1,0 approx ln(1,3478)6,2832 approx 0,2986,2832 approx 0,0474, K/W
Substituindo os valores:
Ri
Resistência na convecção $ R_c $:
Ri = ln(ri / rf)2 pi ki
Substituindo os valores:
Ri = ln(0,0155 / 0,0115)2 times 3,1416 times 0,4 approx 0,2982,5133 approx 0,1183, K/W

Passo 7

A resistência total $ R_{total} $ é a soma das resistências individuais:
Rtotal

Passo 8

Agora, usamos a relação entre a geração de calor por unidade de comprimento $ Q’ $ e a resistência total para encontrar a diferença de temperatura $ \Delta T $:
Q'

Passo 9

Como a temperatura ambiente $ T_a $ é de 27°C, a temperatura no centro do fio $ T_{centro} $ é:
Ta

Resposta

A temperatura no centro do fio elétrico é aproximadamente 52,44°C.

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