Considere um fio longo eléctrico com um diâmetro
e condutividade térmica de
, onde há uma geração uniforme de calor
. O fio está isolado com um material plástico de espessura
e condutividade
. A superfície exterior do plástico perde calor para o ambiente
, existindo um coeficiente de convecção
. Determine a temperatura ( oC ) no centro do fio eléctrico.
Passo 1
Então, a gente tem um fio elétrico bem longo com algumas características específicas: diâmetro de 2,3 cm, condutividade térmica de 1,0 W/(m·K) e geração uniforme de calor de 0,06 W/cm³. Esse fio está coberto por um isolamento plástico de 0,4 cm de espessura e condutividade térmica de 0,4 W/(m·K). Além disso, a superfície externa do plástico está perdendo calor para o ambiente que está a 27°C, com um coeficiente de convecção de 12 W/(m²·°C). A gente vai precisar usar conceitos de condução de calor em materiais cilíndricos, transferência de calor por condução e convecção, além de considerar a geração interna de calor para descobrir qual é a temperatura no centro do fio elétrico.
Passo 2
Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional para facilitar os cálculos. O diâmetro do fio é de 2,3 cm, então o raio $ r_f $ é metade disso:
A espessura do isolamento plástico $ e $ é de 0,4 cm, então o raio externo do isolamento $ r_i $ é:
Passo 3
Vamos calcular a geração de calor por unidade de volume $ g_p $:
Passo 4
Agora, vamos calcular a geração total de calor por unidade de comprimento $ Q’ $ do fio. Para isso, usamos a fórmula:
Como queremos por unidade de comprimento, simplificamos:
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, vamos considerar as resistências térmicas envolvidas no caminho do calor desde o centro do fio até o ambiente. Temos três resistências:
- Condução através do fio elétrico.
- Condução através do isolamento plástico.
- Convecção para o ambiente.
A temperatura no centro do fio será influenciada por todas essas resistências.
Passo 6
Vamos calcular a resistência térmica por unidade de comprimento para cada etapa:
Resistência na condução do fio elétrico $ R_f $:
Substituindo os valores:
Resistência na condução do isolamento $ R_i $:
Substituindo os valores:
Resistência na convecção $ R_c $:
Substituindo os valores:
Passo 7
A resistência total $ R_{total} $ é a soma das resistências individuais:
Passo 8
Agora, usamos a relação entre a geração de calor por unidade de comprimento $ Q’ $ e a resistência total para encontrar a diferença de temperatura $ \Delta T $:
Passo 9
Como a temperatura ambiente $ T_a $ é de 27°C, a temperatura no centro do fio $ T_{centro} $ é:
Resposta
A temperatura no centro do fio elétrico é aproximadamente 52,44°C.