Considere uma firma de manufatura que recebe remessas de peças de dois diferentes fornecedores. Denotase B1 o evento de uma peça ser proveniente do fornecedor 1 e B2 o evento de a peça vir do fornecedor 2. Atualmente 65 % das peças compradas pela empresa são do fornecedor 1 e os restantes 35 % são do fornecedor 2.
Histórico da qualidade de dois fornecedores:
Fornecedores % de peças boas % de peças ruins
1 98 2
2 95 5
Sabendo-se que a peça selecionada é ruim, qual a probabilidade de que tenha vindo do fornecedor 1 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma empresa que compra peças de dois fornecedores diferentes. Sabemos a porcentagem de peças que vêm de cada fornecedor e a qualidade delas. A pergunta é: se a peça que pegamos é ruim, qual a chance dela ter vindo do fornecedor 1? Vamos usar conceitos de probabilidade para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que foi dado:
  • Fornecedor 1 (B1): 65% das peças, com 98% boas e 2% ruins.
  • Fornecedor 2 (B2): 35% das peças, com 95% boas e 5% ruins.
Queremos saber a probabilidade de a peça vir do fornecedor 1 sabendo que ela é ruim, ou seja, $ P(B1 \mid R) $.

Passo 3

Esse tipo de problema usa a Teorema de Bayes, que ajuda a encontrar a probabilidade de um evento A acontecer, dado que já sabemos que um evento B ocorreu. A fórmula é:
P(A mid B) = P(B mid A) cdot P(A)P(B)
Aqui, queremos $ P(B1 \mid R) $, então vamos adaptar a fórmula.

Passo 4

Vamos identificar cada parte da fórmula:
  • $ P(R \mid B1) $ é a probabilidade da peça ser ruim dado que veio do fornecedor 1, que é 2% ou 0.02.
  • $ P(B1) $ é a probabilidade da peça vir do fornecedor 1, que é 65% ou 0.65.
  • $ P® $ é a probabilidade geral da peça ser ruim, independentemente de qual fornecedor veio.
Para encontrar $ P® $, usamos a regra da probabilidade total:
P(R mid B1)
Substituindo os valores:
P(B1)
Então, $ P® = 0.0305 $ ou 3.05%.

Passo 5

Agora, aplicando a Teorema de Bayes:
P(B1 mid R) = P(R mid B1) cdot P(B1)P(R) = 0.02 cdot 0.650.0305 approx 0.0130.0305 approx 0.426

Resposta

A probabilidade de que a peça ruim tenha vindo do fornecedor 1 é de aproximadamente 42,6%.

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