Uma urna contém bolas numeradas de 1 a 60 que têm a mesma probabilidade de serem sorteadas. Pede-se:
a) Defina o espaço amostral.
b) Calcule a probabilidade de que a bola sorteada seja ímpar.
c) Calcule a probabilidade de que a bola sorteada seja um número múltiplo de 5.
d) Calcule a probabilidade de que a bola sorteada seja ímpar ou um número múltiplo de 5.
e) Calcule a probabilidade de que seja sorteado um número múltiplo de 7 ou múltiplo de 10.
f) Calcule a probabilidade de que não seja sorteado um número múltiplo de 5 .
g) Uma bola é sorteada ao acaso e reposta à urna. Uma nova bola passa a ser sorteada. Calcule a probabilidade da primeira ser par e da segunda ser maior que 40.
a) Defina o espaço amostral.
b) Calcule a probabilidade de que a bola sorteada seja ímpar.
c) Calcule a probabilidade de que a bola sorteada seja um número múltiplo de 5.
d) Calcule a probabilidade de que a bola sorteada seja ímpar ou um número múltiplo de 5.
e) Calcule a probabilidade de que seja sorteado um número múltiplo de 7 ou múltiplo de 10.
f) Calcule a probabilidade de que não seja sorteado um número múltiplo de 5 .
g) Uma bola é sorteada ao acaso e reposta à urna. Uma nova bola passa a ser sorteada. Calcule a probabilidade da primeira ser par e da segunda ser maior que 40.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de probabilidade juntos! A gente tem uma urna com bolas numeradas de 1 a 60, e cada bola tem a mesma chance de ser sorteada. Vamos precisar entender conceitos básicos de probabilidade, como espaço amostral, eventos, e como calcular probabilidades de eventos simples e compostos. Vamos passo a passo para ficar tudo bem claro.
Passo 2
a) Defina o espaço amostral.
O espaço amostral é basicamente o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento. Aqui, o experimento é sortear uma bola da urna.
Como temos bolas numeradas de 1 a 60, o espaço amostral $ S $ é:
Passo 3
b) Calcule a probabilidade de que a bola sorteada seja ímpar.
Primeiro, vamos contar quantos números ímpares há de 1 a 60.
Números ímpares entre 1 e 60 são: 1, 3, 5, …, 59.
A quantidade de números ímpares é:
Então, há 30 números ímpares.
Agora, a probabilidade $ P $ de sortear um número ímpar é:
Passo 4
c) Calcule a probabilidade de que a bola sorteada seja um número múltiplo de 5.
Vamos contar quantos múltiplos de 5 existem entre 1 e 60.
Múltiplos de 5: 5, 10, 15, …, 60.
A quantidade de múltiplos de 5 é:
Então, há 12 múltiplos de 5.
A probabilidade $ P $ de sortear um múltiplo de 5 é:
Passo 5
d) Calcule a probabilidade de que a bola sorteada seja ímpar ou um número múltiplo de 5.
Aqui, queremos a probabilidade de ocorrer pelo menos um dos eventos: ser ímpar ou ser múltiplo de 5. Vamos usar a fórmula da probabilidade da união de dois eventos:
Já sabemos:
- $ P(ímpar) = \frac{1}{2} $
- $ P(múltiplo de5) = \frac{1}{5} $
Agora, precisamos encontrar $ P(ímpar e múltiplo de5) $. Ou seja, números que são ímpares e múltiplos de 5.
Múltiplos de 5 ímpares: 5, 15, 25, 35, 45, 55.
São 6 números.
Então:
Aplicando na fórmula:
Passo 6
e) Calcule a probabilidade de que seja sorteado um número múltiplo de 7 ou múltiplo de 10.
Vamos usar a mesma estratégia da parte d).
Primeiro, contamos os múltiplos:
- Múltiplos de 7 entre 1 e 60: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56 (8 números)
- Múltiplos de 10 entre 1 e 60: 10, 20, 30, 40, 50, 60 (6 números)
Agora, identificamos os números que são múltiplos de 7 e 10 ao mesmo tempo (mínimo múltiplo comum, que é 70, mas 70 não está entre 1 e 60). Portanto, não há sobreposição.
Então, a probabilidade é:
Passo 7
f) Calcule a probabilidade de que não seja sorteado um número múltiplo de 5.
A probabilidade de não ocorrer um evento é 1 menos a probabilidade do evento ocorrer.
Já sabemos que:
Então:
Passo 8
g) Uma bola é sorteada ao acaso e reposta à urna. Uma nova bola passa a ser sorteada. Calcule a probabilidade da primeira ser par e da segunda ser maior que 40.
Como a bola é reposta, os dois eventos são independentes. A probabilidade conjunta é o produto das probabilidades individuais.
Primeiro, calculamos $ P(primeira par) $:
Há 30 números pares entre 1 e 60.
Agora, $ P(segunda maior que40) $:
Números maiores que 40 entre 1 e 60 são: 41, 42, …, 60. Total de 20 números.
Como são eventos independentes:
Resposta
a) Espaço amostral $ S = {1, 2, 3, ···, 60} $.
b) Probabilidade de ser ímpar: $ \frac{1}{2} $.
c) Probabilidade de ser múltiplo de 5: $ \frac{1}{5} $.
d) Probabilidade de ser ímpar ou múltiplo de 5: $ \frac{3}{5} $.
e) Probabilidade de ser múltiplo de 7 ou 10: $ \frac{7}{30} $.
f) Probabilidade de não ser múltiplo de 5: $ \frac{4}{5} $.
g) Probabilidade da primeira ser par e da segunda ser maior que 40: $ \frac{1}{6} $.