Considere um fluido caraterizado pelo grande potencial termodinâmico Phi= V f0(T) e^mu / kB T, sendo f0(T) uma função bem-comportada. Obtenha uma função para a energia interna U em função de T, V e N.

Passo 1

Beleza, bora resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para encontrar uma expressão para a energia interna de um fluido, em função da temperatura , volume e número de partículas . A matéria envolvida aqui é Termodinâmica, especificamente usando o grande potencial termodinâmico. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas relações entre potenciais termodinâmicos e entender como a energia interna se relaciona com esses potenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o grande potencial termodinâmico, também conhecido como potencial de Landau ou potencial de Gibbs, está relacionado com outros potenciais termodinâmicos. A equação fundamental que relaciona a energia interna Phi = U - TS - mu N com o grande potencial é:
Aqui, é a temperatura, é a entropia, é o potencial químico e é o número de partículas.

Passo 3

Nosso objetivo é isolar U = Phi + TS + mu N nessa equação. Para isso, basta rearranjar a equação:
Agora, precisamos expressar , a entropia, em termos de grandezas conhecidas ou em termos do grande potencial .

Passo 4

Sabemos que a entropia pode ser obtida a partir do potencial termodinâmico S = -( partial Phipartial T )V,mu pela derivada parcial em relação à temperatura:
Phi = V f0(T) e^mu / (kB T)
Vamos calcular essa derivada usando a expressão dada para :

Passo 5

Calculando a derivada de partial Phipartial T = V ( df0(T)dT e^mu / (kB T) + f0(T) e^mu / (kB T) ( -mukB T^2 ) ) em relação a partial Phipartial T = V e^mu / (kB T) ( df0(T)dT - mu f0(T)kB T^2 ) :
Primeiro, identifique que e são constantes durante a derivação.
Simplificando:

Passo 6

Agora, usando a relação para a entropia:
S = -( partial Phipartial T )V,mu = -V e^mu / (kB T) ( df0(T)dT - mu f0(T)kB T^2 )

Passo 7

Agora, precisamos relacionar N = -( partial Phipartial mu )T,V com partial Phipartial mu = V f0(T) e^mu / (kB T) ( 1kB T ) . Sabemos que:
N = -V f0(T) e^mu / (kB T) ( 1kB T )
Calculando essa derivada:
mu = kB T ln( N kB TV f0(T) )
Então:
Resolvendo para :

Passo 8

Agora, voltando à expressão para U = Phi + TS + mu N :
U = V f0(T) e^mu / (kB T) + T [ -V e^mu / (kB T) ( df0(T)dT - mu f0(T)kB T^2 ) ] + mu N
Substituindo , e pelas expressões encontradas:

Passo 9

Simplificando a expressão:
U = V f0(T) e^mu / (kB T) - V T e^mu / (kB T) ( df0(T)dT - mu f0(T)kB T^2 ) + mu N
Podemos fatorar U = V e^mu / (kB T) [ f0(T) - T ( df0(T)dT - mu f0(T)kB T^2 ) ] + mu N :

Passo 10

Simplificando ainda mais:
U = V e^mu / (kB T) [ f0(T) - T df0(T)dT + mu f0(T)kB T ] + mu N

Passo 11

Finalmente, reconhecendo que U = V e^mu / (kB T) [ f0(T) - T df0(T)dT + mu f0(T)kB T ] + mu V f0(T) e^mu / (kB T) , podemos substituir U = V e^mu / (kB T) [ 2 f0(T) - T df0(T)dT + mu f0(T)kB T ] na equação:
Combinando os termos similares:

Resposta

A energia interna U = V e^mu / (kB T) ( 2 f0(T) - T df0(T)dT + mu f0(T)kB T ) em função da temperatura , volume e número de partículas é dada por:

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