Considere um fluido caraterizado pelo grande potencial termodinâmico , sendo uma função bem-comportada. Obtenha uma função para a energia interna em função de e .

Passo 1

Beleza, bora resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para encontrar uma expressão para a energia interna de um fluido, em função da temperatura , volume e número de partículas . A matéria envolvida aqui é Termodinâmica, especificamente usando o grande potencial termodinâmico. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas relações entre potenciais termodinâmicos e entender como a energia interna se relaciona com esses potenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o grande potencial termodinâmico, também conhecido como potencial de Landau ou potencial de Gibbs, está relacionado com outros potenciais termodinâmicos. A equação fundamental que relaciona a energia interna com o grande potencial é:
Aqui, é a temperatura, é a entropia, é o potencial químico e é o número de partículas.

Passo 3

Nosso objetivo é isolar nessa equação. Para isso, basta rearranjar a equação:
Agora, precisamos expressar , a entropia, em termos de grandezas conhecidas ou em termos do grande potencial .

Passo 4

Sabemos que a entropia pode ser obtida a partir do potencial termodinâmico pela derivada parcial em relação à temperatura:
Vamos calcular essa derivada usando a expressão dada para :

Passo 5

Calculando a derivada de em relação a :
Primeiro, identifique que e são constantes durante a derivação.
Simplificando:

Passo 6

Agora, usando a relação para a entropia:

Passo 7

Agora, precisamos relacionar com . Sabemos que:
Calculando essa derivada:
Então:
Resolvendo para :

Passo 8

Agora, voltando à expressão para :
Substituindo , e pelas expressões encontradas:

Passo 9

Simplificando a expressão:
Podemos fatorar :

Passo 10

Simplificando ainda mais:

Passo 11

Finalmente, reconhecendo que , podemos substituir na equação:
Combinando os termos similares:

Resposta

A energia interna em função da temperatura , volume e número de partículas é dada por:

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