Considere um fluido caraterizado pelo grande potencial termodinâmico
, sendo
uma função bem-comportada. Obtenha uma função para a energia interna
em função de
e
.
Passo 1
Beleza, bora resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para encontrar uma expressão para a energia interna
de um fluido, em função da temperatura
, volume
e número de partículas
. A matéria envolvida aqui é Termodinâmica, especificamente usando o grande potencial termodinâmico. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas relações entre potenciais termodinâmicos e entender como a energia interna se relaciona com esses potenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o grande potencial termodinâmico, também conhecido como potencial de Landau ou potencial de Gibbs, está relacionado com outros potenciais termodinâmicos. A equação fundamental que relaciona a energia interna
com o grande potencial
é:
Aqui,
é a temperatura,
é a entropia,
é o potencial químico e
é o número de partículas.
Passo 3
Nosso objetivo é isolar
nessa equação. Para isso, basta rearranjar a equação:
Agora, precisamos expressar
, a entropia, em termos de grandezas conhecidas ou em termos do grande potencial
.
Passo 4
Sabemos que a entropia pode ser obtida a partir do potencial termodinâmico
pela derivada parcial em relação à temperatura:
Vamos calcular essa derivada usando a expressão dada para
:
Passo 5
Calculando a derivada de
em relação a
:
Primeiro, identifique que
e
são constantes durante a derivação.
Simplificando:
Passo 6
Agora, usando a relação para a entropia:
Passo 7
Agora, precisamos relacionar
com
. Sabemos que:
Calculando essa derivada:
Então:
Resolvendo para
:
Passo 8
Agora, voltando à expressão para
:
Substituindo
,
e
pelas expressões encontradas:
Passo 9
Simplificando a expressão:
Podemos fatorar
:
Passo 10
Simplificando ainda mais:
Passo 11
Finalmente, reconhecendo que
, podemos substituir
na equação:
Combinando os termos similares:
Resposta
A energia interna
em função da temperatura
, volume
e número de partículas
é dada por:
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