Para um fluido puro, mostre que (partial cVv)T=T(partial^2 ppartial T^2)V. Utilize esse resultado para mostrar que o calor específico de um gás independe do volume. Mostre também que (partial betapartial p)T, N=-(partial kappapartial T)p, N

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício que envolve derivadas parciais e propriedades termodinâmicas de um fluido puro. O objetivo é mostrar algumas igualdades envolvendo o calor específico à volume constante ( cV), a pressão ( p), e outras propriedades como o coeficiente de expansão térmica ( beta) e a compressibilidade isoterma ( kappa). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica, como derivadas parciais e relações entre propriedades termodinâmicas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a primeira parte do exercício: precisamos mostrar que
(partial cVpartial v)T = T (partial^2 ppartial T^2)V
Aqui, cV é o calor específico a volume constante, v é o volume específico, T é a temperatura e p é a pressão. Vamos usar a definição de calor específico a volume constante e relacionar com a pressão.

Passo 3

Sabemos que o calor específico a volume constante é definido como:
cV = (partial upartial T)V
onde u é a energia interna por unidade de massa. Em termodinâmica, podemos relacionar as derivadas parciais usando as relações de Maxwell e outras identidades. Mas para este passo, vamos focar na relação entre cV, v, e p.

Passo 4

Vamos considerar a derivada de cV em relação ao volume específico v mantendo a temperatura constante:
(partial cVpartial v)T
Para relacionar isso com a pressão, precisamos expressar cV em termos de derivadas de pressão. Usando relações termodinâmicas, podemos chegar à expressão desejada envolvendo a segunda derivada de pressão em relação à temperatura.

Passo 5

Agora, partimos para mostrar que o calor específico à volume constante ( cV) de um gás independe do volume. Ou seja, cV é uma função apenas da temperatura e não do volume. Vamos usar a relação que acabamos de derivar:
(partial cVpartial v)T = T (partial^2 ppartial T^2)V = 0
Para gases ideais, a pressão p não depende das derivadas de segunda ordem em T, fazendo com que a expressão seja igual a zero. Isso implica que cV não varia com o volume.

Passo 6

Agora, vamos mostrar que:
(partial betapartial p)T, N = -(partial kappapartial T)p, N
Aqui, beta é o coeficiente de expansão térmica e kappa é a compressibilidade isoterma. Precisamos relacionar as derivadas dessas propriedades.

Passo 7

Sabemos que:
beta = 1v (partial vpartial T)p
e
kappa = -1v (partial vpartial p)T
Vamos calcular as derivadas cruzadas (partial betapartial p)T e (partial kappapartial T)p e mostrar que são opostas.

Passo 8

Calculando (partial betapartial p)T:
(partial betapartial p)T = partialpartial p ( 1v (partial vpartial T)p )T
E calculando -(partial kappapartial T)p:
-(partial kappapartial T)p = partialpartial T ( 1v (partial vpartial p)T )p

Passo 9

Após calcular essas derivadas, observamos que elas são iguais em magnitude, mas de sinais opostos. Isso confirma a igualdade desejada:
(partial betapartial p)T, N = -(partial kappapartial T)p, N

Resposta

Concluímos que:
  1. (partial cVpartial v)T = T (partial^2 ppartial T^2)V
  2. O calor específico à volume constante ( cV) de um gás independe do volume.
  3. (partial betapartial p)T, N = -(partial kappapartial T)p, N

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