Para um fluido puro, mostre que
. Utilize esse resultado para mostrar que o calor específico de um gás independe do volume. Mostre também que
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício que envolve derivadas parciais e propriedades termodinâmicas de um fluido puro. O objetivo é mostrar algumas igualdades envolvendo o calor específico à volume constante (
), a pressão (
), e outras propriedades como o coeficiente de expansão térmica (
) e a compressibilidade isoterma (
). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica, como derivadas parciais e relações entre propriedades termodinâmicas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a primeira parte do exercício: precisamos mostrar que
Aqui,
é o calor específico a volume constante,
é o volume específico,
é a temperatura e
é a pressão. Vamos usar a definição de calor específico a volume constante e relacionar com a pressão.
Passo 3
Sabemos que o calor específico a volume constante é definido como:
onde
é a energia interna por unidade de massa. Em termodinâmica, podemos relacionar as derivadas parciais usando as relações de Maxwell e outras identidades. Mas para este passo, vamos focar na relação entre
,
, e
.
Passo 4
Vamos considerar a derivada de
em relação ao volume específico
mantendo a temperatura constante:
Para relacionar isso com a pressão, precisamos expressar
em termos de derivadas de pressão. Usando relações termodinâmicas, podemos chegar à expressão desejada envolvendo a segunda derivada de pressão em relação à temperatura.
Passo 5
Agora, partimos para mostrar que o calor específico à volume constante (
) de um gás independe do volume. Ou seja,
é uma função apenas da temperatura e não do volume. Vamos usar a relação que acabamos de derivar:
Para gases ideais, a pressão
não depende das derivadas de segunda ordem em
, fazendo com que a expressão seja igual a zero. Isso implica que
não varia com o volume.
Passo 6
Agora, vamos mostrar que:
Aqui,
é o coeficiente de expansão térmica e
é a compressibilidade isoterma. Precisamos relacionar as derivadas dessas propriedades.
Passo 7
Sabemos que:
e
Vamos calcular as derivadas cruzadas
e
e mostrar que são opostas.
Passo 8
Calculando
:
E calculando
:
Passo 9
Após calcular essas derivadas, observamos que elas são iguais em magnitude, mas de sinais opostos. Isso confirma a igualdade desejada:
Resposta
Concluímos que:
-
-
O calor específico à volume constante (
) de um gás independe do volume. -
Exercícios relacionados
Considere um fluido caraterizado pelo grande potencial termodinâmico
, sendo
uma função bem-comportada. Obtenha uma função para a energia interna
em função de
e
.
Explique como as leis da Termodinâmica estão relacionadas aos seus postulados.
Escreva a pressão como uma derivada da energia livre de Helmholtz e o volume como uma derivada da energia livre de Gibbs. Explique como essas derivadas podem ser obtidas.
Considere um fluido caraterizado pelo grande potencial termodinâmico
, sendo
uma função bem-comportada. Obtenha a energia livre de Helmholtz