Para um fluido puro, mostre que . Utilize esse resultado para mostrar que o calor específico de um gás independe do volume. Mostre também que

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício que envolve derivadas parciais e propriedades termodinâmicas de um fluido puro. O objetivo é mostrar algumas igualdades envolvendo o calor específico à volume constante ( ), a pressão ( ), e outras propriedades como o coeficiente de expansão térmica ( ) e a compressibilidade isoterma ( ). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica, como derivadas parciais e relações entre propriedades termodinâmicas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a primeira parte do exercício: precisamos mostrar que
Aqui, é o calor específico a volume constante, é o volume específico, é a temperatura e é a pressão. Vamos usar a definição de calor específico a volume constante e relacionar com a pressão.

Passo 3

Sabemos que o calor específico a volume constante é definido como:
onde é a energia interna por unidade de massa. Em termodinâmica, podemos relacionar as derivadas parciais usando as relações de Maxwell e outras identidades. Mas para este passo, vamos focar na relação entre , , e .

Passo 4

Vamos considerar a derivada de em relação ao volume específico mantendo a temperatura constante:
Para relacionar isso com a pressão, precisamos expressar em termos de derivadas de pressão. Usando relações termodinâmicas, podemos chegar à expressão desejada envolvendo a segunda derivada de pressão em relação à temperatura.

Passo 5

Agora, partimos para mostrar que o calor específico à volume constante ( ) de um gás independe do volume. Ou seja, é uma função apenas da temperatura e não do volume. Vamos usar a relação que acabamos de derivar:
Para gases ideais, a pressão não depende das derivadas de segunda ordem em , fazendo com que a expressão seja igual a zero. Isso implica que não varia com o volume.

Passo 6

Agora, vamos mostrar que:
Aqui, é o coeficiente de expansão térmica e é a compressibilidade isoterma. Precisamos relacionar as derivadas dessas propriedades.

Passo 7

Sabemos que:
e
Vamos calcular as derivadas cruzadas e e mostrar que são opostas.

Passo 8

Calculando :
E calculando :

Passo 9

Após calcular essas derivadas, observamos que elas são iguais em magnitude, mas de sinais opostos. Isso confirma a igualdade desejada:

Resposta

Concluímos que:
  1. O calor específico à volume constante ( ) de um gás independe do volume.

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