Escreva a pressão como uma derivada da energia livre de Helmholtz e o volume como uma derivada da energia livre de Gibbs. Explique como essas derivadas podem ser obtidas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para mostrar como a pressão pode ser expressa como uma derivada da energia livre de Helmholtz e como o volume pode ser expressa como uma derivada da energia livre de Gibbs. Estamos falando de Termodinâmica aqui. Para resolver isso, vamos precisar entender as definições dessas energias livres e como elas se relacionam com pressão e volume.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a energia livre de Helmholtz, que é denotada por F = U - TS . Ela é definida pela equação:
onde é a energia interna, é a temperatura e é a entropia. A energia livre de Helmholtz é útil para sistemas em temperatura e volume constantes.

Passo 3

Agora, para relacionar a pressão com a energia livre de Helmholtz, precisamos usar uma propriedade das derivadas parciais. Sabemos que a pressão P = -( partial Fpartial V )T pode ser obtida a partir da energia livre de Helmholtz tomando a derivada parcial de em relação ao volume durante a temperatura constante. Matematicamente, isso fica:
O sinal negativo aparece porque aumentar o volume geralmente diminui a energia livre.

Passo 4

Vamos entender por que isso funciona. Quando você toma a derivada de em relação a mantendo constante, está vendo como a energia livre muda com pequenas variações no volume. A pressão é basicamente a força por unidade de área que mantém o sistema em equilíbrio, e essa relação mostra como a energia responde a mudanças no volume.

Passo 5

Agora, vamos falar sobre a energia livre de Gibbs, denotada por G = H - TS . Ela é definida por:
V = ( partial Gpartial P )T
onde é a entalpia. A energia livre de Gibbs é usada para sistemas em temperatura e pressão constantes. Para relacionar o volume com a energia livre de Gibbs, tomamos a derivada parcial de em relação à pressão durante a temperatura constante:
Dessa forma, o volume é como a energia livre de Gibbs responde a mudanças na pressão.

Passo 6

Resumindo as relações que encontramos:
  • A pressão é dada por:
P = -( partial Fpartial V )T
  • O volume é dado por:
V = ( partial Gpartial P )T

Resposta

Então, a pressão pode ser escrita como a derivada negativa da energia livre de Helmholtz em relação ao volume a temperatura constante:
P = -( partial Fpartial V )T
E o volume pode ser expresso como a derivada da energia livre de Gibbs em relação à pressão a temperatura constante:
V = ( partial Gpartial P )T

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