Escreva a pressão como uma derivada da energia livre de Helmholtz e o volume como uma derivada da energia livre de Gibbs. Explique como essas derivadas podem ser obtidas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para mostrar como a pressão pode ser expressa como uma derivada da energia livre de Helmholtz e como o volume pode ser expressa como uma derivada da energia livre de Gibbs. Estamos falando de Termodinâmica aqui. Para resolver isso, vamos precisar entender as definições dessas energias livres e como elas se relacionam com pressão e volume.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a energia livre de Helmholtz, que é denotada por
. Ela é definida pela equação:
onde
é a energia interna,
é a temperatura e
é a entropia. A energia livre de Helmholtz é útil para sistemas em temperatura e volume constantes.
Passo 3
Agora, para relacionar a pressão com a energia livre de Helmholtz, precisamos usar uma propriedade das derivadas parciais. Sabemos que a pressão
pode ser obtida a partir da energia livre de Helmholtz tomando a derivada parcial de
em relação ao volume
durante a temperatura constante. Matematicamente, isso fica:
O sinal negativo aparece porque aumentar o volume geralmente diminui a energia livre.
Passo 4
Vamos entender por que isso funciona. Quando você toma a derivada de
em relação a
mantendo
constante, está vendo como a energia livre muda com pequenas variações no volume. A pressão é basicamente a força por unidade de área que mantém o sistema em equilíbrio, e essa relação mostra como a energia responde a mudanças no volume.
Passo 5
Agora, vamos falar sobre a energia livre de Gibbs, denotada por
. Ela é definida por:
onde
é a entalpia. A energia livre de Gibbs é usada para sistemas em temperatura e pressão constantes. Para relacionar o volume
com a energia livre de Gibbs, tomamos a derivada parcial de
em relação à pressão
durante a temperatura constante:
Dessa forma, o volume é como a energia livre de Gibbs responde a mudanças na pressão.
Passo 6
Resumindo as relações que encontramos:
- A pressão é dada por:
- O volume é dado por:
Resposta
Então, a pressão pode ser escrita como a derivada negativa da energia livre de Helmholtz em relação ao volume a temperatura constante:
E o volume pode ser expresso como a derivada da energia livre de Gibbs em relação à pressão a temperatura constante:
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Para um fluido puro, mostre que
. Utilize esse resultado para mostrar que o calor específico de um gás independe do volume. Mostre também que
Considere um fluido caraterizado pelo grande potencial termodinâmico
, sendo
uma função bem-comportada. Obtenha uma função para a energia interna
em função de
e
.
Considere um fluido caraterizado pelo grande potencial termodinâmico
, sendo
uma função bem-comportada. Obtenha a energia livre de Helmholtz
Considere um fluido caraterizado pelo grande potencial termodinâmico
, sendo
uma função bem-comportada. Calcule as derivadas
e
em função da temperatura e da pressão.