Considere as forças abaixo e determine para cada uma delas uma correspondente expressão para a energia potencial.
F(x)=Ax^3-Cx^2.
As constantes C e A são positivas. Esboce os gráficos da força e da energia potencial em cada item no domínio 0.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma força definida pela expressão , onde e são constantes positivas. O objetivo é encontrar a energia potencial correspondente a essa força e esboçar os gráficos da força e da energia potencial para . Para resolver isso, vamos usar conceitos de física sobre forças e energia potencial, especificamente a relação entre força e energia potencial.

Passo 2

Sabemos que a energia potencial F(x) = -dUdx está relacionada à força pela seguinte relação:
Isso significa que para encontrar , precisamos integrar a força em relação a .

Passo 3

Vamos reescrever a expressão da força para facilitar a integração:
F(x) = Ax^3 - Cx^2
Aplicando a relação -dUdx = Ax^3 - Cx^2 , temos:
dUdx = -Ax^3 + Cx^2
Multiplicando ambos os lados por -1:

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a U(x) = integral ( -Ax^3 + Cx^2 ) dx para encontrar :
Vamos integrar termo a termo.

Passo 5

Integrando o primeiro termo:
integral -Ax^3 dx = -A integral x^-3 dx = -A ( x^-2-2 ) = A2x^2
Integrando o segundo termo:
integral Cx^2 dx = C integral x^-2 dx = C ( x^-1-1 ) = -Cx

Passo 6

Juntando os resultados das integrais e adicionando a constante de integração U(x) = A2x^2 - Cx + K :
Como estamos interessados apenas na forma funcional da energia potencial, podemos considerar sem perda de generalidade.

Resposta

A expressão da energia potencial correspondente à força dada é:
U(x) = A2x^2 - Cx

Exercícios relacionados