Considere as forças abaixo e determine para cada uma delas uma correspondente expressão para a energia potencial.
F(x)=-Cx^2,
As constantes C e A são positivas. Esboce os gráficos da força e da energia potencial em cada item no domínio 0.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma força que depende da posição F(x) = -dUdx , dada por , onde é uma constante positiva. A tarefa é encontrar a energia potencial correspondente a essa força e desenhar os gráficos da força e da energia potencial para .
Para resolver isso, precisamos lembrar que a energia potencial está relacionada à força pela relação:
Então, vamos integrar a força para encontrar a energia potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a relação entre a força e a energia potencial:
F(x) = -dUdx
Substituindo -Cx^2 = -dUdx na equação:
Cx^2 = dUdx
Simplificando os sinais:

Passo 3

Agora, queremos encontrar dUdx = Cx^2 . Para isso, precisamos integrar a expressão da derivada:
U(x) = integral Cx^2 , dx
Integrando ambos os lados em relação a U(x) = C integral x^-2 , dx :

Passo 4

Vamos resolver a integral:
integral x^-2 , dx = x^-1-1 + K = -1x + K
Ent��o,
U(x) = C ( -1x ) + K = -Cx + K
Aqui, é a constante de integração.

Passo 5

Normalmente, escolhemos U(x) = -Cx quando tende ao infinito para simplificar. Assim, quando , , o que implica que .
Portanto, a energia potencial fica:

Passo 6

Agora, vamos esboçar os gráficos.
Gráfico da Força :
  • A força é negativa para todo , indicando que é uma força atrativa.
  • Conforme aumenta, a magnitude da força diminui, aproximando-se de zero.
Gráfico da Energia Potencial :
  • A energia potencial também é negativa para todo .
  • À medida que aumenta, se aproxima de zero.
  • Conforme se aproxima de zero, tende a menos infinito.

Resposta

A energia potencial correspondente à força U(x) = -Cx é:
Os gráficos da força e da energia potencial para mostram que ambas são negativas, com a força aproximando-se de zero conforme aumenta e a energia potencial aproximando-se de zero de forma semelhante, mas tendendo a menos infinito quando se aproxima de zero.

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