Considere as forças abaixo e determine para cada uma delas uma correspondente expressão para a energia potencial.
,
As constantes
e
são positivas. Esboce os gráficos da força e da energia potencial em cada item no domínio
.
As constantes
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma força que depende da posição
, dada por
, onde
é uma constante positiva. A tarefa é encontrar a energia potencial correspondente a essa força e desenhar os gráficos da força e da energia potencial para
.
Para resolver isso, precisamos lembrar que a energia potencial
está relacionada à força pela relação:
Então, vamos integrar a força para encontrar a energia potencial.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a relação entre a força e a energia potencial:
Substituindo
na equação:
Simplificando os sinais:
Passo 3
Agora, queremos encontrar
. Para isso, precisamos integrar a expressão da derivada:
Integrando ambos os lados em relação a
:
Passo 4
Vamos resolver a integral:
Ent��o,
Aqui,
é a constante de integração.
Passo 5
Normalmente, escolhemos
quando
tende ao infinito para simplificar. Assim, quando
,
, o que implica que
.
Portanto, a energia potencial fica:
Passo 6
Agora, vamos esboçar os gráficos.
Gráfico da Força
:
- A força é negativa para todo
, indicando que é uma força atrativa. - Conforme
aumenta, a magnitude da força diminui, aproximando-se de zero.
Gráfico da Energia Potencial
:
- A energia potencial também é negativa para todo
. - À medida que
aumenta, se aproxima de zero. - Conforme
se aproxima de zero, tende a menos infinito.
Resposta
A energia potencial correspondente à força
é:
Os gráficos da força e da energia potencial para
mostram que ambas são negativas, com a força aproximando-se de zero conforme
aumenta e a energia potencial aproximando-se de zero de forma semelhante, mas tendendo a menos infinito quando
se aproxima de zero.