Dados dois vetores A=4,00 i+3,00 j e B=5,00 i-2,00 j,
(a) ache o módulo, a direção e o sentido de cada vetor;
(b) escreva uma expressão para a diferença vetorial A-B usando vetores unitários;
© ache o módulo, a direção e o sentido da diferença vetorial A-B
(d) faça um diagrama vetorial para A, B e A-B e mostre que os resultados concordam aproximadamente com a resposta do item ©.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício pede. Estamos trabalhando com vetores no plano cartesiano, especificamente com operações básicas como encontrar o módulo, direção, sentido, diferença vetorial e até desenhar um diagrama vetorial. Para resolver isso, vamos precisar lembrar das fórmulas para calcular o módulo de um vetor, determinar seu ângulo de direção e entender como subtrair vetores usando as componentes.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): encontrar o módulo, a direção e o sentido de cada vetor A e B.
Módulo do vetor: O módulo de um vetor V = Vx i + Vy j é dado por:
|V| = raizVx^2 + Vy^2
Direção do vetor: A direção (ângulo theta) em relação ao eixo x é:
theta = arctan(VyVx)
Sentido do vetor: O sentido é basicamente a direção, indicando para onde o vetor está apontando.
Vamos calcular para cada vetor:
Para A = 4,00 i + 3,00 j:
  • Módulo:
|A| = raiz4^2 + 3^2 = raiz16 + 9 = raiz25 = 5,00
  • Direção:
thetaA = arctan(34) approx 36,87^circ
Para B = 5,00 i - 2,00 j:
  • Módulo:
|B| = raiz5^2 + (-2)^2 = raiz25 + 4 = raiz29 approx 5,39
  • Direção:
thetaB = arctan(-25) approx -21,80^circ
(O ângulo negativo indica que B está abaixo do eixo x.)

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b): escrever uma expressão para a diferença vetorial A - B usando vetores unitários.
Para subtrair dois vetores, subtraímos suas componentes correspondentes. Temos:
A - B = (4,00 i + 3,00 j) - (5,00 i - 2,00 j) = (4,00 - 5,00) i + (3,00 - (-2,00)) j = -1,00 i + 5,00 j
Então, a diferença vetorial é:
A - B = -1,00 i + 5,00 j

Passo 4

Vamos resolver a parte ©: achar o módulo, a direção e o sentido da diferença vetorial A - B.
Já temos A - B = -1,00 i + 5,00 j.
Módulo:
|A - B| = raiz(-1)^2 + 5^2 = raiz1 + 25 = raiz26 approx 5,10
Direção:
theta = arctan(5-1)
Como o componente x é negativo e o y é positivo, o ângulo está no segundo quadrante. Calculando o valor absoluto:
theta = 180^circ - arctan(51) approx 180^circ - 78,69^circ = 101,31^circ
Sentido: O ângulo indica que o vetor está apontando para o segundo quadrante, ou seja, está se orientando acima do eixo x negativo.

Passo 5

Finalmente, vamos para a parte (d): desenhar um diagrama vetorial para A, B e A - B e verificar se os resultados estão coerentes com o item ©.
Embora não possamos desenhar aqui, podemos descrever:
  1. Desenhe A: Comece na origem e faça uma seta até (4, 3).
  2. Desenhe B: Comece na origem e faça uma seta até (5, -2).
  3. Desenhe A - B: Isso é equivalente a adicionar -B a A. Então, você coloca a ponta de -B na ponta de A.
Ao fazer isso, o vetor resultante A - B deve ter aproximadamente o módulo de 5,10 e direção de 101,31°, como calculamos no passo anterior. O diagrama vetorial deve confirmar visualmente esses valores.

Resposta

(a)
  • A: módulo = 5,00; direção ≈ 36,87° acima do eixo x; sentido conforme definido pelas componentes.
  • B: módulo ≈ 5,39; direção ≈ 21,80° abaixo do eixo x; sentido conforme definido pelas componentes.
(b)
A - B = -1,00 i + 5,00 j
©
  • A - B: módulo ≈ 5,10; direção ≈ 101,31° em relação ao eixo x; sentido apontando para o segundo quadrante.
(d)
O diagrama vetorial confirma que o módulo e a direção da diferença vetorial A - B estão de acordo com os cálculos feitos no item ©.

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