Considere a função f(x, y) = -1/12 x^3 + x - 1/4 y^2 + 1/2
(a) Determine e classifique os pontos críticos de f;
(b) Determine os pontos de máximo e mínimo de f sobre o círculo (x+2)² + y² = 4;
© Determine os valores máximo mínimo de f no disco D = {(x, y) ; (x + 2)^2 + y^2 <= 4} e os pontos onde estes valores ocorrem.
Resp: (a) P1 = 2.0, máximo local; P2 = (-2, 0), sela; (b) P3=(-4,0), f(P3)=11/6, máximo abs.; P4 = (-2, 2) e P5 = (-2, -2), mínimo abs., f(P4) = f P5 = -11/6.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta a função e nos pede para:
a) Encontrar e classificar os pontos críticos dessa função.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, como encontrar derivadas parciais e analisar o comportamento desses pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Isso acontece onde as derivadas parciais em relação a e são iguais a zero.
Calculando as derivadas:
Igualando as derivadas a zero:
Então, temos dois pontos críticos: e .

Passo 3

Agora, vamos classificar esses pontos críticos utilizando o teste da segunda derivada. Para isso, calculamos as derivadas parciais de segunda ordem:
O discriminante é dado por:
Analisando cada ponto:
  1. Para :
Como e , é um ponto de máximo local.
  1. Para :
Como , é um ponto de sela.

Resposta

(a) Os pontos críticos são , que é um máximo local, e , que é um ponto de sela.

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