Considere a função
(a) Determine e classifique os pontos críticos de
;
(b) Determine os pontos de máximo e mínimo de
sobre o círculo
;
© Determine os valores máximo mínimo de
no disco
e os pontos onde estes valores ocorrem.
Resp: (a)
, máximo local;
, sela; (b)
, máximo abs.;
e
, mínimo abs.,
.
(a) Determine e classifique os pontos críticos de
(b) Determine os pontos de máximo e mínimo de
© Determine os valores máximo mínimo de
Resp: (a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta a função
e nos pede para:
a) Encontrar e classificar os pontos críticos dessa função.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, como encontrar derivadas parciais e analisar o comportamento desses pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Isso acontece onde as derivadas parciais em relação a
e
são iguais a zero.
Calculando as derivadas:
Igualando as derivadas a zero:
Então, temos dois pontos críticos:
e
.
Passo 3
Agora, vamos classificar esses pontos críticos utilizando o teste da segunda derivada. Para isso, calculamos as derivadas parciais de segunda ordem:
O discriminante
é dado por:
Analisando cada ponto:
- Para
:
Como
e
,
é um ponto de máximo local.
- Para
:
Como
,
é um ponto de sela.
Resposta
(a) Os pontos críticos são
, que é um máximo local, e
, que é um ponto de sela.
Exercícios relacionados
Ache o volume do maior paralelepípedo que pode ser inscrito no elipsóide
cujas arestas sejam paralelos ao eixos coordenados.
Resp: Volume: .
Resp: Volume:
Determine os extremos globais da função
sobre o conjunto compacto
.
Resp: Máximo nos pontos e
e Mínimo no ponto
.
Resp: Máximo nos pontos
Encontrar os extremos relativos da função
sujeita à restrição
.
Resp: ponto de Mínimo e
ponto de Máximo.
Resp:
Verifique em cada um dos casos abaixo se o campo vetorial dado é conservativo, justificando sua resposta.