Considere a função
(a) Determine e classifique os pontos críticos de ;
(b) Determine os pontos de máximo e mínimo de sobre o círculo ;
© Determine os valores máximo mínimo de no disco e os pontos onde estes valores ocorrem.
Resp: (a) , máximo local; , sela; (b) , máximo abs.; e , mínimo abs., .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta a função e nos pede para:
a) Encontrar e classificar os pontos críticos dessa função.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, como encontrar derivadas parciais e analisar o comportamento desses pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Isso acontece onde as derivadas parciais em relação a e são iguais a zero.
Calculando as derivadas:
Igualando as derivadas a zero:
Então, temos dois pontos críticos: e .

Passo 3

Agora, vamos classificar esses pontos críticos utilizando o teste da segunda derivada. Para isso, calculamos as derivadas parciais de segunda ordem:
O discriminante é dado por:
Analisando cada ponto:
  1. Para :
Como e , é um ponto de máximo local.
  1. Para :
Como , é um ponto de sela.

Resposta

(a) Os pontos críticos são , que é um máximo local, e , que é um ponto de sela.

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Ache o volume do maior paralelepípedo que pode ser inscrito no elipsóide
cujas arestas sejam paralelos ao eixos coordenados.
Resp: Volume: .
Determine os extremos globais da função sobre o conjunto compacto .
Resp: Máximo nos pontos e e Mínimo no ponto .
Encontrar os extremos relativos da função sujeita à restrição .
Resp: ponto de Mínimo e ponto de Máximo.
Verifique em cada um dos casos abaixo se o campo vetorial dado é conservativo, justificando sua resposta.