Verifique em cada um dos casos abaixo se o campo vetorial dado é conservativo, justificando sua resposta.

Passo 1

Vamos resumir o que precisamos fazer: temos o campo vetorial dado por e precisamos verificar se ele é conservativo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e as condições que eles devem satisfazer.

Passo 2

Um campo vetorial é conservativo se existir uma função potencial tal que . Isso significa que o trabalho realizado por esse campo ao longo de um caminho depende apenas dos pontos inicial e final, e não do trajeto seguido.
Uma das maneiras de verificar se um campo é conservativo é conferir se as derivadas parciais cruzadas do campo são iguais. Para um campo , o campo é conservativo se:

Passo 3

Vamos aplicar essa condição ao nosso campo .
Identificando e :
Calculando as derivadas parciais:
Como (ambos são iguais a 1), a condição para o campo ser conservativo é satisfeita.

Resposta

Sim, o campo vetorial é conservativo porque .

Exercícios relacionados

Encontrar os extremos relativos da função sujeita à restrição .
Resp: ponto de Mínimo e ponto de Máximo.
Considere a função
(a) Determine e classifique os pontos críticos de ;
(b) Determine os pontos de máximo e mínimo de sobre o círculo ;
© Determine os valores máximo mínimo de no disco e os pontos onde estes valores ocorrem.
Resp: (a) , máximo local; , sela; (b) , máximo abs.; e , mínimo abs., .
Mostre que a integral é nula, qualquer que seja a curva fechada de classe por partes.
Seja
Determine e .