Verifique em cada um dos casos abaixo se o campo vetorial dado é conservativo, justificando sua resposta. F(x, y) = y i + x j

Passo 1

Vamos resumir o que precisamos fazer: temos o campo vetorial dado por e precisamos verificar se ele é conservativo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e as condições que eles devem satisfazer.

Passo 2

Um campo vetorial é conservativo se existir uma função potencial f(x, y) tal que . Isso significa que o trabalho realizado por esse campo ao longo de um caminho depende apenas dos pontos inicial e final, e não do trajeto seguido.
Uma das maneiras de verificar se um campo é conservativo é conferir se as derivadas parciais cruzadas do campo são iguais. Para um campo , o campo é conservativo se:

Passo 3

Vamos aplicar essa condição ao nosso campo .
Identificando P e Q:
Calculando as derivadas parciais:
Como (ambos são iguais a 1), a condição para o campo ser conservativo é satisfeita.

Resposta

Sim, o campo vetorial é conservativo porque .

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