Verifique em cada um dos casos abaixo se o campo vetorial dado é conservativo, justificando sua resposta.
Passo 1
Vamos resumir o que precisamos fazer: temos o campo vetorial dado por
e precisamos verificar se ele é conservativo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e as condições que eles devem satisfazer.
Passo 2
Um campo vetorial é conservativo se existir uma função potencial
tal que
. Isso significa que o trabalho realizado por esse campo ao longo de um caminho depende apenas dos pontos inicial e final, e não do trajeto seguido.
Uma das maneiras de verificar se um campo é conservativo é conferir se as derivadas parciais cruzadas do campo são iguais. Para um campo
, o campo é conservativo se:
Passo 3
Vamos aplicar essa condição ao nosso campo
.
Identificando
e
:
Calculando as derivadas parciais:
Como
(ambos são iguais a 1), a condição para o campo ser conservativo é satisfeita.
Resposta
Sim, o campo vetorial
é conservativo porque
.
Exercícios relacionados
Encontrar os extremos relativos da função
sujeita à restrição
.
Resp: ponto de Mínimo e
ponto de Máximo.
Resp:
Considere a função
(a) Determine e classifique os pontos críticos de ;
(b) Determine os pontos de máximo e mínimo de sobre o círculo
;
© Determine os valores máximo mínimo de no disco
e os pontos onde estes valores ocorrem.
Resp: (a) , máximo local;
, sela; (b)
, máximo abs.;
e
, mínimo abs.,
.
(a) Determine e classifique os pontos críticos de
(b) Determine os pontos de máximo e mínimo de
© Determine os valores máximo mínimo de
Resp: (a)
Mostre que a integral
é nula, qualquer que seja a curva fechada
de classe
por partes.
Seja
Determine e
.
Determine