Determine os extremos globais da função
sobre o conjunto compacto
.
Resp: Máximo nos pontos
e
e Mínimo no ponto
.
Resp: Máximo nos pontos
Passo 1
Beleza, vamos resolver o problema de encontrar os extremos globais da função
dentro do conjunto compacto
. Isso envolve conceitos de cálculo multivariable, especificamente análise de extremos em conjuntos fechados e limitados.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que para encontrar os extremos globais de uma função em um conjunto compacto, precisamos analisar tanto os pontos críticos internos quanto os pontos na fronteira do conjunto.
Passo 3
Vamos começar encontrando os pontos críticos internos da função. Para isso, calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e
e igualamos a zero.
Passo 4
Calculando a derivada parcial em relação a
:
Igualando a zero:
Isso nos dá
ou
.
Passo 5
Calculando a derivada parcial em relação a
:
Igualando a zero:
Isso nos dá
ou
.
Passo 6
Analisando os casos onde
e
:
-
Se
, substituindo na equação , temos , então ou . -
Se
, substituindo na equação , temos , então ou .
Passo 7
Agora, vamos verificar se esses pontos estão dentro do conjunto
onde
:
- Para
e :
- Para
e :
Passo 8
Agora, precisamos avaliar a função
nesses pontos críticos:
-
-
-
-
- Além disso, no ponto
:
Passo 9
Agora, vamos analisar os valores obtidos:
- Máximos locais:
em e - Mínimo local:
em - Valores nos outros pontos são menores que o máximo encontrado.
Passo 10
Por fim, como a função atinge seus valores máximos e mínimos dentro do conjunto
, concluímos que:
Resposta
Máximo nos pontos
e
e Mínimo no ponto
.