Determine os extremos globais da função f(x, y) = e^(-x^2 - y^2) * (2*x^2 + 3*x^2) sobre o conjunto compacto K = {(x, y) em R^2 ; x^2 + y^2 <= 4}.
Resp: Máximo nos pontos 0,1 e (0, -1) e Mínimo no ponto (0,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema de encontrar os extremos globais da função dentro do conjunto compacto . Isso envolve conceitos de cálculo multivariable, especificamente análise de extremos em conjuntos fechados e limitados.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que para encontrar os extremos globais de uma função em um conjunto compacto, precisamos analisar tanto os pontos críticos internos quanto os pontos na fronteira do conjunto.

Passo 3

Vamos começar encontrando os pontos críticos internos da função. Para isso, calculamos as derivadas parciais de em relação a e e igualamos a zero.

Passo 4

Calculando a derivada parcial em relação a :
Igualando a zero:
Isso nos dá ou .

Passo 5

Calculando a derivada parcial em relação a :
Igualando a zero:
Isso nos dá ou .

Passo 6

Analisando os casos onde e :
  • Se , substituindo na equação , temos , então ou .
  • Se , substituindo na equação , temos , então ou .

Passo 7

Agora, vamos verificar se esses pontos estão dentro do conjunto onde :
  • Para e :
á
  • Para e :
á

Passo 8

Agora, precisamos avaliar a função nesses pontos críticos:
  • Além disso, no ponto :

Passo 9

Agora, vamos analisar os valores obtidos:
  • Máximos locais: em e
  • Mínimo local: em
  • Valores nos outros pontos são menores que o máximo encontrado.

Passo 10

Por fim, como a função atinge seus valores máximos e mínimos dentro do conjunto , concluímos que:

Resposta

Máximo nos pontos e e Mínimo no ponto .

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