Determine os extremos globais da função
sobre o conjunto compacto
.
Resp: Máximo nos pontos
e
e Mínimo no ponto
.
Resp: Máximo nos pontos
Passo 1
Beleza, vamos resolver o problema de encontrar os extremos globais da função
dentro do conjunto compacto
. Isso envolve conceitos de cálculo multivariable, especificamente análise de extremos em conjuntos fechados e limitados.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que para encontrar os extremos globais de uma função em um conjunto compacto, precisamos analisar tanto os pontos críticos internos quanto os pontos na fronteira do conjunto.
Passo 3
Vamos começar encontrando os pontos críticos internos da função. Para isso, calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e
e igualamos a zero.
Passo 4
Calculando a derivada parcial em relação a
:
Igualando a zero:
Isso nos dá
ou
.
Passo 5
Calculando a derivada parcial em relação a
:
Igualando a zero:
Isso nos dá
ou
.
Passo 6
Analisando os casos onde
e
:
-
Se
, substituindo na equação , temos , então ou . -
Se
, substituindo na equação , temos , então ou .
Passo 7
Agora, vamos verificar se esses pontos estão dentro do conjunto
onde
:
- Para
e :
- Para
e :
Passo 8
Agora, precisamos avaliar a função
nesses pontos críticos:
-
-
-
-
- Além disso, no ponto
:
Passo 9
Agora, vamos analisar os valores obtidos:
- Máximos locais:
em e - Mínimo local:
em - Valores nos outros pontos são menores que o máximo encontrado.
Passo 10
Por fim, como a função atinge seus valores máximos e mínimos dentro do conjunto
, concluímos que:
Resposta
Máximo nos pontos
e
e Mínimo no ponto
.
Exercícios relacionados
Encontre a equação do plano tangente à superfície gráfico da função o
, no ponto onde a função tenha um valor extremo.
Determine a área de superfície da parte da superfície
que fica acima da região triangular
no plano
com vértice
e
.
Ache o volume do maior paralelepípedo que pode ser inscrito no elipsóide
cujas arestas sejam paralelos ao eixos coordenados.
Resp: Volume: .
Resp: Volume:
Considere a função
(a) Determine e classifique os pontos críticos de ;
(b) Determine os pontos de máximo e mínimo de sobre o círculo
;
© Determine os valores máximo mínimo de no disco
e os pontos onde estes valores ocorrem.
Resp: (a) , máximo local;
, sela; (b)
, máximo abs.;
e
, mínimo abs.,
.
(a) Determine e classifique os pontos críticos de
(b) Determine os pontos de máximo e mínimo de
© Determine os valores máximo mínimo de
Resp: (a)