Encontrar os extremos relativos da função f(x, y, z) = 25 - x^2 - y^2 sujeita à restrição x^2 + y^2 - 4y = 0.
Resp: (0,4) ponto de Mínimo e (0,0) ponto de Máximo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os extremos relativos (ou seja, os pontos onde a função atinge seus valores máximos ou mínimos) da função , mas com a condição de que . Para isso, vamos usar o método de otimização com restrições, que nos ajuda a encontrar esses pontos especiais levando em conta a restrição dada.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a restrição para facilitar nosso trabalho. A equação pode ser reescrita completando o quadrado:
Então, a restrição nos diz que os pontos estão sobre um círculo com centro em e raio .

Passo 3

Agora, vamos reescrever a função apenas em termos de e , já que não aparece nela. A função fica:
Queremos maximizar ou minimizar essa função sob a restrição que encontramos.

Passo 4

Para encontrar os extremos, podemos usar o método de Lagrange, que envolve introduzir um multiplicador e resolver o sistema de equações derivando a função de Lagrange. A função de Lagrange é:

Passo 5

Vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a , e e igualá-las a zero:
  1. Derivada em relação a :
Isso nos dá duas possibilidades: ou .
  1. Derivada em relação a :
  1. Derivada em relação a :
Essa é nossa restrição original.

Passo 6

Vamos analisar as possibilidades que surgiram:
  1. Caso :
    • A equação da restrição se torna:
    • Então, temos dois pontos: e .
  2. Caso :
    • Voltando à segunda derivada:
    • Isso não faz sentido, então apenas o caso nos dá soluções válidas.

Passo 7

Agora, vamos verificar quais desses pontos são máximos ou mínimos substituindo-os na função :
  1. Ponto :
  1. Ponto :
Comparando os valores, vemos que é o ponto de máximo e é o ponto de mínimo.

Resposta

ponto de Mínimo e ponto de Máximo.

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