Encontrar os extremos relativos da função
sujeita à restrição
.
Resp:
ponto de Mínimo e
ponto de Máximo.
Resp:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os extremos relativos (ou seja, os pontos onde a função atinge seus valores máximos ou mínimos) da função
, mas com a condição de que
. Para isso, vamos usar o método de otimização com restrições, que nos ajuda a encontrar esses pontos especiais levando em conta a restrição dada.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a restrição para facilitar nosso trabalho. A equação
pode ser reescrita completando o quadrado:
Então, a restrição nos diz que os pontos
estão sobre um círculo com centro em
e raio
.
Passo 3
Agora, vamos reescrever a função
apenas em termos de
e
, já que
não aparece nela. A função fica:
Queremos maximizar ou minimizar essa função sob a restrição que encontramos.
Passo 4
Para encontrar os extremos, podemos usar o método de Lagrange, que envolve introduzir um multiplicador
e resolver o sistema de equações derivando a função de Lagrange. A função de Lagrange é:
Passo 5
Vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
,
e
e igualá-las a zero:
- Derivada em relação a
:
Isso nos dá duas possibilidades:
ou
.
- Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
:
Essa é nossa restrição original.
Passo 6
Vamos analisar as possibilidades que surgiram:
-
Caso
: - A equação da restrição se torna:
- Então, temos dois pontos:
e .
-
Caso
: - Voltando à segunda derivada:
- Isso não faz sentido, então apenas o caso
nos dá soluções válidas.
Passo 7
Agora, vamos verificar quais desses pontos são máximos ou mínimos substituindo-os na função
:
- Ponto
:
- Ponto
:
Comparando os valores, vemos que
é o ponto de máximo e
é o ponto de mínimo.
Resposta
Exercícios relacionados
Considere a função
(a) Determine e classifique os pontos críticos de ;
(b) Determine os pontos de máximo e mínimo de sobre o círculo
;
© Determine os valores máximo mínimo de no disco
e os pontos onde estes valores ocorrem.
Resp: (a) , máximo local;
, sela; (b)
, máximo abs.;
e
, mínimo abs.,
.
(a) Determine e classifique os pontos críticos de
(b) Determine os pontos de máximo e mínimo de
© Determine os valores máximo mínimo de
Resp: (a)
Ache o volume do maior paralelepípedo que pode ser inscrito no elipsóide
cujas arestas sejam paralelos ao eixos coordenados.
Resp: Volume: .
Resp: Volume:
Verifique em cada um dos casos abaixo se o campo vetorial dado é conservativo, justificando sua resposta.
Mostre que a integral
é nula, qualquer que seja a curva fechada
de classe
por partes.