Mostre as propriedades do gradiente enunciadas em aula.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar as propriedades do gradiente que foram discutidas nas aulas. Isso tá ligado ao cálculo vetorial, especificamente sobre como a gente pode manipular e entender o operador gradiente. Vamos precisar saber o que é o gradiente e como ele se comporta em diferentes situações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função escalar é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e é dado por:
Essa definição é fundamental porque nos ajuda a entender como a função muda em cada direção.

Passo 3

Agora, vamos para a primeira propriedade: Linearidade. Isso significa que o gradiente de uma soma de funções é igual à soma dos gradientes, e o gradiente de uma constante multiplicada por uma função é igual a constante multiplicada pelo gradiente da função. Em termos matemáticos:
Isso facilita muito a vida quando estamos trabalhando com combinações lineares de funç��es.

Passo 4

A segunda propriedade é sobre Derivadas Parciais. O gradiente contém todas as derivadas parciais de uma função. Ou seja, se você tem uma função , o gradiente vai te dar e . Isso é útil para encontrar a taxa de variação da função em qualquer direção.

Passo 5

A terceira propriedade está relacionada ao Produto Escalar. Se você tem um vetor direção , o produto escalar do gradiente com te dá a derivada direcional da função na direção de :
Isso mostra como o gradiente pode ser usado para determinar a direção em que a função está aumentando mais rapidamente.

Passo 6

Por último, temos a propriedade de Maximização. O gradiente sempre aponta na direção de maior crescimento da função. Além disso, o vetor gradiente é perpendicular às curvas de nível da função. Isso é super útil em otimização, onde queremos encontrar máximos e mínimos.

Resposta

Então, resumindo, mostramos que o gradiente é linear, contém todas as derivadas parciais, está relacionado ao produto escalar para derivadas direcionais e aponta na direção de maior crescimento da função. Essas propriedades são fundamentais para entender como funções multivariáveis se comportam.

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Mostre que sen é solução da equação do calor: . O que acontece com quando ? Interprete isso sabendo que representa a temperatura na posição de uma barra e no instante .
Considere a função:
a) Para , calcule e .
b) Qual é o valor de e ?
c) Mostre que .
d) Verifique que para .
e) Encontre para
f) Conclua que e . Por que isso não contradiz o teorema de Clairaut?
Determine o limite .
Encontre os pontos críticos das funções abaixo e decida se são máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela:
a) .
b)
c) .