Mostre que g(x, t) = 2 + e^(-t) sen x é solução da equação do calor: g_t = g_xx. O que acontece com g(x, t) quando t -> infinito ? Interprete isso sabendo que g(x, t) representa a temperatura na posição x de uma barra e no instante t.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para mostrar que a função é uma solução da equação do calor, que é . Além disso, precisamos entender o que acontece com essa função quando o tempo tende ao infinito, sabendo que representa a temperatura em um ponto de uma barra ao longo do tempo .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a equação do calor significa. Ela descreve como a temperatura muda no tempo ( ) em relação à posição na barra ( ). Para mostrar que é uma solução, precisamos calcular essas derivadas e verificar se a igualdade é satisfeita.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de em relação a , que é .

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada de em relação a , que é .
Primeiro, a primeira derivada em relação a :
Agora, a segunda derivada:

Passo 5

Comparando e :
Vemos que , o que confirma que é realmente uma solução da equação do calor.

Passo 6

Agora, vamos analisar o que acontece com quando .
Isso significa que, conforme o tempo passa e vai para o infinito, a temperatura se aproxima de 2 em todos os pontos da barra.

Resposta

A função é uma solução da equação do calor . Além disso, quando tende ao infinito, converge para 2, indicando que a temperatura se estabiliza uniformemente em toda a barra com temperatura constante igual a 2.

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