Mostre que
sen
é solução da equação do calor:
. O que acontece com
quando
? Interprete isso sabendo que
representa a temperatura na posição
de uma barra e no instante
.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede para mostrar que a função
é uma solução da equação do calor, que é
. Além disso, precisamos entender o que acontece com essa função quando o tempo
tende ao infinito, sabendo que
representa a temperatura em um ponto
de uma barra ao longo do tempo
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a equação do calor
significa. Ela descreve como a temperatura muda no tempo (
) em relação à posição na barra (
). Para mostrar que
é uma solução, precisamos calcular essas derivadas e verificar se a igualdade é satisfeita.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
em relação a
, que é
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
em relação a
, que é
.
Primeiro, a primeira derivada em relação a
:
Agora, a segunda derivada:
Passo 5
Comparando
e
:
Vemos que
, o que confirma que
é realmente uma solução da equação do calor.
Passo 6
Agora, vamos analisar o que acontece com
quando
.
Isso significa que, conforme o tempo passa e vai para o infinito, a temperatura
se aproxima de 2 em todos os pontos
da barra.
Resposta
A função
é uma solução da equação do calor
. Além disso, quando
tende ao infinito,
converge para 2, indicando que a temperatura se estabiliza uniformemente em toda a barra com temperatura constante igual a 2.
Exercícios relacionados
Considere a função:
a) Para
, calcule
e
.
b) Qual é o valor de e
?
c) Mostre que .
d) Verifique que para
.
e) Encontre para
f) Conclua que e
. Por que isso não contradiz o teorema de Clairaut?
b) Qual é o valor de
c) Mostre que
d) Verifique que
e) Encontre
f) Conclua que
Determine as derivadas direcionais das funções:
a) na direção do vetor
.
b) na direção do vetor
.
c) na direção que forma um ângulo de medida
com o eixo
.
a)
b)
c)
Mostre as propriedades do gradiente enunciadas em aula.
Determine o limite
.