Mostre que sen é solução da equação do calor: . O que acontece com quando ? Interprete isso sabendo que representa a temperatura na posição de uma barra e no instante .

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para mostrar que a função é uma solução da equação do calor, que é . Além disso, precisamos entender o que acontece com essa função quando o tempo tende ao infinito, sabendo que representa a temperatura em um ponto de uma barra ao longo do tempo .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a equação do calor significa. Ela descreve como a temperatura muda no tempo ( ) em relação à posição na barra ( ). Para mostrar que é uma solução, precisamos calcular essas derivadas e verificar se a igualdade é satisfeita.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de em relação a , que é .

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada de em relação a , que é .
Primeiro, a primeira derivada em relação a :
Agora, a segunda derivada:

Passo 5

Comparando e :
Vemos que , o que confirma que é realmente uma solução da equação do calor.

Passo 6

Agora, vamos analisar o que acontece com quando .
Isso significa que, conforme o tempo passa e vai para o infinito, a temperatura se aproxima de 2 em todos os pontos da barra.

Resposta

A função é uma solução da equação do calor . Além disso, quando tende ao infinito, converge para 2, indicando que a temperatura se estabiliza uniformemente em toda a barra com temperatura constante igual a 2.

Exercícios relacionados

Considere a função:
a) Para , calcule e .
b) Qual é o valor de e ?
c) Mostre que .
d) Verifique que para .
e) Encontre para
f) Conclua que e . Por que isso não contradiz o teorema de Clairaut?
Determine as derivadas direcionais das funções:
a) na direção do vetor .
b) na direção do vetor .
c) na direção que forma um ângulo de medida com o eixo .
Mostre as propriedades do gradiente enunciadas em aula.
Determine o limite .