Considere a função .
(a) (1 ponto) Prove que é contínua em ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer provar que a função é contínua no ponto . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Multivariável, especificamente sobre continuidade de funções de duas variáveis. Para mostrar que a função é contínua nesse ponto, precisamos verificar se o limite de quando se aproxima de é igual ao valor da função nesse ponto, que é .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa continuidade no ponto . A função é contínua em se:
Como , precisamos mostrar que:

Passo 3

Para facilitar o cálculo do limite, vamos usar coordenadas polares. Nas coordenadas polares, e , onde é a distância até a origem ( significa que estamos chegando perto de ).

Passo 4

Substituindo e na função, temos:
Simplificando os termos:

Passo 5

Sabemos que , então o denominador fica:
A função agora é:

Passo 6

Agora, para encontrar o limite quando , analisamos o comportamento da função:
Usando propriedades de valores absolutos e sabendo que e , temos:

Passo 7

Sabemos que . Portanto, pelo Teorema do Confronto (ou Squeeze Theorem), como e quando , concluímos que:

Resposta

Portanto, a função é contínua em .

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