Considere a função f(x, y)=lx y(x^2-y^2)x^2+y^2, se (x, y) neq(0,0) 0, se (x, y)=(0,0).
(a) (1 ponto) Prove que f(x, y) é contínua em (0,0);

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer provar que a função é contínua no ponto . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Multivariável, especificamente sobre continuidade de funções de duas variáveis. Para mostrar que a função é contínua nesse ponto, precisamos verificar se o limite de quando se aproxima de é igual ao valor da função nesse ponto, que é .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa continuidade no ponto lim(x, y) to (0,0) f(x, y) = f(0,0) . A função lim(x, y) to (0,0) xy(x^2 - y^2)x^2 + y^2 = 0 é contínua em se:
Como , precisamos mostrar que:

Passo 3

Para facilitar o cálculo do limite, vamos usar coordenadas polares. Nas coordenadas polares, e , onde é a distância até a origem ( significa que estamos chegando perto de ).

Passo 4

Substituindo f(x, y) = (r cos theta)(r sin theta)((r cos theta)^2 - (r sin theta)^2)(r cos theta)^2 + (r sin theta)^2 e f(x, y) = r^2 cos theta sin theta (r^2 cos^2 theta - r^2 sin^2 theta)r^2 (cos^2 theta + sin^2 theta) na função, temos:
Simplificando os termos:

Passo 5

Sabemos que r^2 (cos^2 theta + sin^2 theta) = r^2 , então o denominador fica:
f(x, y) = r^2 cos theta sin theta (r^2 (cos^2 theta - sin^2 theta))r^2 = r^2 cos theta sin theta (cos^2 theta - sin^2 theta)
A função agora é:

Passo 6

Agora, para encontrar o limite quando |f(x, y)| = |r^2 cos theta sin theta (cos^2 theta - sin^2 theta)| , analisamos o comportamento da função:
|f(x, y)| <= r^2 cdot 1 cdot 1 cdot (1 + 1) = 2r^2
Usando propriedades de valores absolutos e sabendo que e , temos:

Passo 7

Sabemos que lim(x, y) to (0,0) f(x, y) = 0 . Portanto, pelo Teorema do Confronto (ou Squeeze Theorem), como e quando , concluímos que:

Resposta

Portanto, a função é contínua em .

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