Considere a função
.
(a) (1 ponto) Prove que
é contínua em
;
(a) (1 ponto) Prove que
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer provar que a função
é contínua no ponto
. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Multivariável, especificamente sobre continuidade de funções de duas variáveis. Para mostrar que a função é contínua nesse ponto, precisamos verificar se o limite de
quando
se aproxima de
é igual ao valor da função nesse ponto, que é
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa continuidade no ponto
. A função
é contínua em
se:
Como
, precisamos mostrar que:
Passo 3
Para facilitar o cálculo do limite, vamos usar coordenadas polares. Nas coordenadas polares,
e
, onde
é a distância até a origem (
significa que estamos chegando perto de
).
Passo 4
Substituindo
e
na função, temos:
Simplificando os termos:
Passo 5
Sabemos que
, então o denominador fica:
A função agora é:
Passo 6
Agora, para encontrar o limite quando
, analisamos o comportamento da função:
Usando propriedades de valores absolutos e sabendo que
e
, temos:
Passo 7
Sabemos que
. Portanto, pelo Teorema do Confronto (ou Squeeze Theorem), como
e
quando
, concluímos que:
Resposta
Portanto, a função
é contínua em
.
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e
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(b) (1 ponto) Determine o plano tangente à no ponto
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em
;
(b) (1 ponto) Determine o plano tangente à
Seja
e seja
uma matriz fixada em
. Se
verifique que
é uma transformação linear de
em
.