Um corpo tem temperatura dada por:
(b) (1 ponto) Determine o plano tangente à
no ponto
e as equações paramétricas da reta normal à
em
;
(b) (1 ponto) Determine o plano tangente à
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de temperatura
e precisa encontrar o plano tangente à superfície
nesse ponto específico
. Também vamos determinar as equações paramétricas da reta normal à superfície nesse mesmo ponto. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como gradiente e equação do plano tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o gradiente de uma função
nos dá um vetor que é normal à superfície no ponto considerado. O gradiente é calculado pelas derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis.
Então, vamos calcular o gradiente de
:
Passo 3
Calculando cada derivada parcial:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Primeiro, calculamos o denominador:
Então, substituímos os valores:
Passo 5
Com o vetor normal
, podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
Onde
são as componentes do vetor normal e
.
Substituindo:
Multiplicando todos os termos por 3 para eliminar as frações:
Simplificando:
Passo 6
Agora, para encontrar as equações paramétricas da reta normal, usamos o vetor direção igual ao gradiente e o ponto
.
A forma geral das equações paramétricas é:
Onde
são as componentes do vetor direção e
é o parâmetro.
Substituindo:
Resposta
O plano tangente à superfície
no ponto
é dado por:
As equações paramétricas da reta normal à
em
são: