Um corpo tem temperatura dada por:
(b) (1 ponto) Determine o plano tangente à no ponto e as equações paramétricas da reta normal à em ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de temperatura e precisa encontrar o plano tangente à superfície nesse ponto específico . Também vamos determinar as equações paramétricas da reta normal à superfície nesse mesmo ponto. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como gradiente e equação do plano tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o gradiente de uma função nos dá um vetor que é normal à superfície no ponto considerado. O gradiente é calculado pelas derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis.
Então, vamos calcular o gradiente de :

Passo 3

Calculando cada derivada parcial:
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :
Primeiro, calculamos o denominador:
Então, substituímos os valores:

Passo 5

Com o vetor normal , podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
Onde são as componentes do vetor normal e .
Substituindo:
Multiplicando todos os termos por 3 para eliminar as frações:
Simplificando:

Passo 6

Agora, para encontrar as equações paramétricas da reta normal, usamos o vetor direção igual ao gradiente e o ponto .
A forma geral das equações paramétricas é:
Onde são as componentes do vetor direção e é o parâmetro.
Substituindo:

Resposta

O plano tangente à superfície no ponto é dado por:
As equações paramétricas da reta normal à em são:

Exercícios relacionados

Considere a função .
(a) (1 ponto) Prove que é contínua em ;
(b) (1,5 pontos) Encontre os máximos e mínimos absolutos da função na curva de interseção do plano com o cilindro
Seja e seja uma matriz fixada em . Se
verifique que é uma transformação linear de em .
Um corpo tem temperatura dada por:
(d) (0,5 ponto) Suponha que e sejam funções diferenciáveis tais que: pertence à , para todo e que . Calcule