Um corpo tem temperatura dada por:
(b) (1 ponto) Determine o plano tangente à no ponto e as equações paramétricas da reta normal à em ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de temperatura e precisa encontrar o plano tangente à superfície nesse ponto específico . Também vamos determinar as equações paramétricas da reta normal à superfície nesse mesmo ponto. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como gradiente e equação do plano tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o gradiente de uma função nos dá um vetor que é normal à superfície no ponto considerado. O gradiente é calculado pelas derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis.
Então, vamos calcular o gradiente de :
Passo 3
Calculando cada derivada parcial:
Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :
Primeiro, calculamos o denominador:
Então, substituímos os valores:
Passo 5
Com o vetor normal , podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
Onde são as componentes do vetor normal e .
Substituindo:
Multiplicando todos os termos por 3 para eliminar as frações:
Simplificando:
Passo 6
Agora, para encontrar as equações paramétricas da reta normal, usamos o vetor direção igual ao gradiente e o ponto .
A forma geral das equações paramétricas é:
Onde são as componentes do vetor direção e é o parâmetro.
Substituindo:
Resposta
O plano tangente à superfície no ponto é dado por: