Um corpo tem temperatura dada por: T(x, y, z) = ln(9 x^2 + y^2 - 4 z^2)
(b) (1 ponto) Determine o plano tangente à S no ponto P0 = (2, 6, 3) e as equações paramétricas da reta normal à S em P0;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de temperatura e precisa encontrar o plano tangente à superfície nesse ponto específico . Também vamos determinar as equações paramétricas da reta normal à superfície nesse mesmo ponto. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como gradiente e equação do plano tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o gradiente de uma função nos dá um vetor que é normal à superfície no ponto considerado. O gradiente é calculado pelas derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis.
Então, vamos calcular o gradiente de :

Passo 3

Calculando cada derivada parcial:
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :
Primeiro, calculamos o denominador:
Então, substituímos os valores:

Passo 5

Com o vetor normal , podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
Onde são as componentes do vetor normal e .
Substituindo:
Multiplicando todos os termos por 3 para eliminar as frações:
Simplificando:

Passo 6

Agora, para encontrar as equações paramétricas da reta normal, usamos o vetor direção igual ao gradiente e o ponto .
A forma geral das equações paramétricas é:
Onde são as componentes do vetor direção e é o parâmetro.
Substituindo:

Resposta

O plano tangente à superfície no ponto é dado por:
As equações paramétricas da reta normal à em são:

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