Dê um exemplo, se possível, de uma transformação linear tal que e

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão quer é que a gente encontre uma transformação linear que tenha como núcleo (todos os vetores que são mapeados para zero) o conjunto e como imagem (todos os vetores que podem ser obtidos através da transformação) o conjunto . Para resolver isso, vamos precisar entender o que são núcleo e imagem de uma transformação linear e como podemos construir uma matriz que atenda a essas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz 2x2. O núcleo de é o conjunto de soluções da equação , ou seja, os vetores que ficam “desaparecendo” na transformação.
No nosso caso, o núcleo é . Isso significa que qualquer vetor desse conjunto será mapeado para zero por .

Passo 3

Além disso, a imagem de é o conjunto de todos os vetores que podemos obter ao aplicar em qualquer vetor de . Aqui, a imagem é , ou seja, todos os vetores onde as componentes são iguais.
Para construir a matriz , precisamos garantir que:
  1. As colunas de pertençam à imagem , pois a imagem é gerada pelas combinações lineares das colunas de .
  2. O núcleo seja , o que implica que a transformação elimina os vetores dessa linha específica.

Passo 4

Vamos construir a matriz . Sabemos que as colunas de devem estar na imagem . Uma escolha simples para as colunas seria , já que para esse vetor.
Então, podemos começar com:
No entanto, precisamos ajustar para que o núcleo seja exatamente .

Passo 5

Para garantir que o núcleo de seja , devemos ter que quando .
Substituindo na equação , temos:
Ou seja, essa escolha de não satisfaz o núcleo desejado. Precisamos ajustar as colunas de para que essa condição seja atendida.

Passo 6

Outra abordagem é usar a definição de núcleo e imagem para construir diretamente. Sabemos que o núcleo de é a solução da equação , então podemos escrever os vetores do núcleo como .
Para que a imagem seja , a coluna de deve ser múltiplo de . Uma matriz que satisfaz essas condições é:
Vamos verificar se essa matriz tem o núcleo e a imagem desejados.

Passo 7

Verificando o núcleo:
Isso nos dá o sistema:
Resolvendo, da primeira equação: . Substituindo na segunda:
Então, o núcleo é realmente .
Verificando a imagem, vemos que as colunas de são e , que não estão na forma . Portanto, precisamos ajustar novamente.

Passo 8

Vamos simplificar. Para ter a imagem , podemos escolher:
Mas já vimos que isso não atende ao núcleo. Então, uma melhor estratégia é usar uma transformação que projeta vetores na imagem desejada e tem o núcleo correto.
Uma matriz que faz isso é:
Vamos verificar:
Para o núcleo:
Isso não é exatamente , mas sim . Precisamos ajustar o sinal.
Então, a matriz correta é:
Verificando o núcleo:
E a imagem:
Todas as colunas são múltiplos de , então .

Resposta

Uma transformação linear que satisfaz as condições é representada pela matriz:
Isso garante que e .

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