Dê um exemplo, se possível, de uma transformação linear tal que
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão quer é que a gente encontre uma transformação linear
que tenha como núcleo (todos os vetores que são mapeados para zero) o conjunto
e como imagem (todos os vetores que podem ser obtidos através da transformação) o conjunto
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são núcleo e imagem de uma transformação linear e como podemos construir uma matriz que atenda a essas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear
pode ser representada por uma matriz
2x2. O núcleo de
é o conjunto de soluções da equação
, ou seja, os vetores que ficam “desaparecendo” na transformação.
No nosso caso, o núcleo é
. Isso significa que qualquer vetor desse conjunto será mapeado para zero por
.
Passo 3
Além disso, a imagem de
é o conjunto de todos os vetores que podemos obter ao aplicar
em qualquer vetor de
. Aqui, a imagem é
, ou seja, todos os vetores onde as componentes são iguais.
Para construir a matriz
, precisamos garantir que:
- As colunas de
pertençam à imagem , pois a imagem é gerada pelas combinações lineares das colunas de . - O núcleo seja
, o que implica que a transformação elimina os vetores dessa linha específica.
Passo 4
Vamos construir a matriz
. Sabemos que as colunas de
devem estar na imagem
. Uma escolha simples para as colunas seria
, já que
para esse vetor.
Então, podemos começar com:
No entanto, precisamos ajustar
para que o núcleo seja exatamente
.
Passo 5
Para garantir que o núcleo de
seja
, devemos ter que
quando
.
Substituindo
na equação
, temos:
Ou seja, essa escolha de
não satisfaz o núcleo desejado. Precisamos ajustar as colunas de
para que essa condição seja atendida.
Passo 6
Outra abordagem é usar a definição de núcleo e imagem para construir
diretamente. Sabemos que o núcleo de
é a solução da equação
, então podemos escrever os vetores do núcleo como
.
Para que a imagem seja
, a coluna de
deve ser múltiplo de
. Uma matriz que satisfaz essas condições é:
Vamos verificar se essa matriz tem o núcleo e a imagem desejados.
Passo 7
Verificando o núcleo:
Isso nos dá o sistema:
Resolvendo, da primeira equação:
. Substituindo na segunda:
Então, o núcleo é realmente
.
Verificando a imagem, vemos que as colunas de
são
e
, que não estão na forma
. Portanto, precisamos ajustar novamente.
Passo 8
Vamos simplificar. Para ter a imagem
, podemos escolher:
Mas já vimos que isso não atende ao núcleo. Então, uma melhor estratégia é usar uma transformação que projeta vetores na imagem desejada e tem o núcleo correto.
Uma matriz que faz isso é:
Vamos verificar:
Para o núcleo:
Isso não é exatamente
, mas sim
. Precisamos ajustar o sinal.
Então, a matriz correta é:
Verificando o núcleo:
E a imagem:
Todas as colunas são múltiplos de , então
.
Todas as colunas são múltiplos de
Resposta
Uma transformação linear que satisfaz as condições é representada pela matriz:
Isso garante que
e
.
Exercícios relacionados
Considere
tal que
e
. Determine a matriz da transformação associada às bases canônicas de
e
.
(b) (1,5 pontos) Encontre os máximos e mínimos absolutos da função
na curva de interseção do plano
com o cilindro
Considere a função
.
(a) (1 ponto) Prove que é contínua em
;
(a) (1 ponto) Prove que