Seja
e seja
uma matriz fixada em
. Se
verifique que
é uma transformação linear de
em
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o conjunto
, que é o conjunto de todas as matrizes
com entradas reais. A transformação
é definida por
, onde
é uma matriz fixa em
. Nosso objetivo é verificar se
é uma transformação linear, ou seja, se ela preserva a adição de matrizes e a multiplicação por escalar. Para isso, vamos precisar usar as propriedades das transformações lineares e manipular as matrizes adequadamente.
Passo 2
Vamos começar verificando se
preserva a adição de matrizes. Isso significa que para quaisquer duas matrizes
e
em
, devemos ter:
Vamos calcular cada lado dessa igualdade.
Do lado esquerdo:
Do lado direito:
Como os dois lados são iguais, isso mostra que
preserva a adição de matrizes.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
preserva a multiplicação por escalar. Ou seja, para qualquer escalar
e qualquer matriz
em
, devemos ter:
Vamos calcular cada lado dessa igualdade.
Do lado esquerdo:
Do lado direito:
Mais uma vez, os dois lados são iguais, o que mostra que
preserva a multiplicação por escalar.
Resposta
Como
preserva tanto a adição de matrizes quanto a multiplicação por escalar, concluímos que
é uma transformação linear de
em
.
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(b) (1 ponto) Determine o plano tangente à no ponto
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em
;
(b) (1 ponto) Determine o plano tangente à
Considere a função
.
(a) (1 ponto) Prove que é contínua em
;
(a) (1 ponto) Prove que
Um corpo tem temperatura dada por:
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sejam funções diferenciáveis tais que:
pertence à
, para todo
e que
. Calcule
(d) (0,5 ponto) Suponha que
(a) (1 ponto) Dada a
, encontre seus pontos críticos em
e classifique-os em máximo relativo, mínimo relativo e sela.