Seja
e seja
uma matriz fixada em
. Se
verifique que
é uma transformação linear de
em
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o conjunto
, que é o conjunto de todas as matrizes
com entradas reais. A transformação
é definida por
, onde
é uma matriz fixa em
. Nosso objetivo é verificar se
é uma transformação linear, ou seja, se ela preserva a adição de matrizes e a multiplicação por escalar. Para isso, vamos precisar usar as propriedades das transformações lineares e manipular as matrizes adequadamente.
Passo 2
Vamos começar verificando se
preserva a adição de matrizes. Isso significa que para quaisquer duas matrizes
e
em
, devemos ter:
Vamos calcular cada lado dessa igualdade.
Do lado esquerdo:
Do lado direito:
Como os dois lados são iguais, isso mostra que
preserva a adição de matrizes.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
preserva a multiplicação por escalar. Ou seja, para qualquer escalar
e qualquer matriz
em
, devemos ter:
Vamos calcular cada lado dessa igualdade.
Do lado esquerdo:
Do lado direito:
Mais uma vez, os dois lados são iguais, o que mostra que
preserva a multiplicação por escalar.
Resposta
Como
preserva tanto a adição de matrizes quanto a multiplicação por escalar, concluímos que
é uma transformação linear de
em
.