Seja V = M(2, 2, R) e seja B uma matriz fixada em V. Se
T(A) = A B - B A
verifique que T é uma transformação linear de V em V.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o conjunto , que é o conjunto de todas as matrizes com entradas reais. A transformação é definida por , onde é uma matriz fixa em . Nosso objetivo é verificar se é uma transformação linear, ou seja, se ela preserva a adição de matrizes e a multiplicação por escalar. Para isso, vamos precisar usar as propriedades das transformações lineares e manipular as matrizes adequadamente.

Passo 2

Vamos começar verificando se preserva a adição de matrizes. Isso significa que para quaisquer duas matrizes e em , devemos ter:
Vamos calcular cada lado dessa igualdade.
Do lado esquerdo:
Do lado direito:
Como os dois lados são iguais, isso mostra que preserva a adição de matrizes.

Passo 3

Agora, vamos verificar se preserva a multiplicação por escalar. Ou seja, para qualquer escalar e qualquer matriz em , devemos ter:
Vamos calcular cada lado dessa igualdade.
Do lado esquerdo:
Do lado direito:
Mais uma vez, os dois lados são iguais, o que mostra que preserva a multiplicação por escalar.

Resposta

Como preserva tanto a adição de matrizes quanto a multiplicação por escalar, concluímos que é uma transformação linear de em .

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