Considere a função f(x) = ln(x) - 3x² + 5 e o intervalo I [1,325 ; 1,328]. Utilize o método da bissecção para calcular a raiz, com quatro casas decimais com erro e < 0,0002. ALTERNATIVAS
a) x = 1,3271
b) x = 1,3345
c) x = 1,3269
d) x = 1,3399
e) x = 1,3408
a) x = 1,3271
b) x = 1,3345
c) x = 1,3269
d) x = 1,3399
e) x = 1,3408
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar a raiz da função $ f(x) = \ln(x) - 3x^2 + 5 $ no intervalo
usando o método da bissecção. O conteúdo que vamos usar aqui é o método da bissecção, que é uma técnica numérica para encontrar raízes de funções contínuas. Para isso, precisamos entender o conceito de intervalo, como a função se comporta nele e como aplicar o método passo a passo até alcançar a precisão desejada de quatro casas decimais com um erro menor que
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o método da bissecção. Esse método se baseia no Teorema de Bolzano, que garante que se uma função contínua muda de sinal em um intervalo
, então existe pelo menos uma raiz nesse intervalo. Nosso objetivo é dividir o intervalo em duas partes iguais e verificar em qual subintervalo a função muda de sinal, repetindo esse processo até encontrar a raiz com a precisão desejada.
Passo 3
Vamos começar calculando o valor da função nos extremos do intervalo:
Fazendo as contas:
Como $ f(1.325) > 0 $ e $ f(1.328) < 0 $, sabemos que há uma raiz nesse intervalo.
Passo 4
Agora, vamos encontrar o ponto médio do intervalo:
Calculamos $ f(1.3265) $:
Como $ f(1.3265) > 0 $, a raiz está no intervalo
.
Passo 5
Vamos repetir o processo com o novo intervalo
. Calculamos o ponto médio:
Calculamos $ f(1.32725) $:
Como $ f(1.32725) > 0 $, a raiz está no intervalo
.
Passo 6
Mais uma vez, encontramos o ponto médio do intervalo
:
Calculamos $ f(1.327625) $:
Continuamos sabendo que a raiz está entre
e
.
Passo 7
Vamos calcular mais uma iteração com o intervalo
:
Calculamos $ f(1.3278125) $:
A raiz ainda está entre
e
.
Passo 8
Repetindo o processo uma última vez para alcançar a precisão desejada:
Calculamos $ f(1.32790625) $:
Agora, a diferença entre os extremos do intervalo é menor que
, atingindo a precisão de quatro casas decimais.
Resposta
A raiz da função $ f(x) = \ln(x) - 3x^2 + 5 $ no intervalo
é aproximadamente $ x = 1,3271 $. Portanto, a alternativa correta é:
a) x = 1,3271