Considere a função f(x) = ln(x) - 3x² + 5 e o intervalo I [1,325 ; 1,328]. Utilize o método da bissecção para calcular a raiz, com quatro casas decimais com erro e < 0,0002. ALTERNATIVAS
a) x = 1,3271
b) x = 1,3345
c) x = 1,3269
d) x = 1,3399
e) x = 1,3408

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar a raiz da função $ f(x) = \ln(x) - 3x^2 + 5 $ no intervalo f(x) = ln(x) - 3x^2 + 5 usando o método da bissecção. O conteúdo que vamos usar aqui é o método da bissecção, que é uma técnica numérica para encontrar raízes de funções contínuas. Para isso, precisamos entender o conceito de intervalo, como a função se comporta nele e como aplicar o método passo a passo até alcançar a precisão desejada de quatro casas decimais com um erro menor que [1.325, 1.328].

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o método da bissecção. Esse método se baseia no Teorema de Bolzano, que garante que se uma função contínua muda de sinal em um intervalo [a, b], então existe pelo menos uma raiz nesse intervalo. Nosso objetivo é dividir o intervalo em duas partes iguais e verificar em qual subintervalo a função muda de sinal, repetindo esse processo até encontrar a raiz com a precisão desejada.

Passo 3

Vamos começar calculando o valor da função nos extremos do intervalo:
f(1.325) = ln(1.325) - 3 times (1.325)^2 + 5
f(1.328) = ln(1.328) - 3 times (1.328)^2 + 5
Fazendo as contas:
f(1.325) approx 0.2810 - 5.2695 + 5 = 0.0115
f(1.328) approx 0.2842 - 5.2915 + 5 = -0.0073
Como $ f(1.325) > 0 $ e $ f(1.328) < 0 $, sabemos que há uma raiz nesse intervalo.

Passo 4

Agora, vamos encontrar o ponto médio do intervalo:
m = 1.325 + 1.3282 = 1.3265
Calculamos $ f(1.3265) $:
f(1.3265)
f(1.3265) = ln(1.3265) - 3 times (1.3265)^2 + 5
Como $ f(1.3265) > 0 $, a raiz está no intervalo f(1.3265) approx 0.2834 - 5.2705 + 5 = 0.0129 .

Passo 5

Vamos repetir o processo com o novo intervalo [1.3265, 1.328]. Calculamos o ponto médio:
m = 1.3265 + 1.3282 = 1.32725
Calculamos $ f(1.32725) $:
f(1.32725)
f(1.32725) = ln(1.32725) - 3 times (1.32725)^2 + 5
Como $ f(1.32725) > 0 $, a raiz está no intervalo f(1.32725) approx 0.2838 - 5.2751 + 5 = 0.0087 .

Passo 6

Mais uma vez, encontramos o ponto médio do intervalo [1.32725, 1.328]:
m = 1.32725 + 1.3282 = 1.327625
Calculamos $ f(1.327625) $:
f(1.327625)
f(1.327625) = ln(1.327625) - 3 times (1.327625)^2 + 5
Continuamos sabendo que a raiz está entre f(1.327625) approx 0.2839 - 5.2763 + 5 = 0.0076 e 1.327625.

Passo 7

Vamos calcular mais uma iteração com o intervalo [1.327625, 1.328]:
m = 1.327625 + 1.3282 = 1.3278125
Calculamos $ f(1.3278125) $:
f(1.3278125)
f(1.3278125) = ln(1.3278125) - 3 times (1.3278125)^2 + 5
A raiz ainda está entre f(1.3278125) approx 0.2840 - 5.2768 + 5 = 0.0072 e 1.3278125.

Passo 8

Repetindo o processo uma última vez para alcançar a precisão desejada:
m = 1.3278125 + 1.3282 = 1.32790625
Calculamos $ f(1.32790625) $:
f(1.32790625)
f(1.32790625) = ln(1.32790625) - 3 times (1.32790625)^2 + 5
Agora, a diferença entre os extremos do intervalo é menor que f(1.32790625) approx 0.2840 - 5.2770 + 5 = 0.0070 , atingindo a precisão de quatro casas decimais.

Resposta

A raiz da função $ f(x) = \ln(x) - 3x^2 + 5 $ no intervalo f(x) = ln(x) - 3x^2 + 5 é aproximadamente $ x = 1,3271 $. Portanto, a alternativa correta é:
a) x = 1,3271

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