O decaimento radioativo de uma substância se dá de acordo com a fórmula r(t) = C ∙ 3 −6t, com C sendo uma constante diferente de zero e r(t) a quantidade de radioatividade presente na substância após t segundos desde o início do decaimento. Determine o tempo, em segundos, para que a substância fique com a terça parte da radioatividade que tinha inicialmente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de decaimento radioativo, que é quando uma substância perde sua radioatividade ao longo do tempo. A fórmula que descreve isso é $ r(t) = C \cdot 3^{-6t} $, onde:
  • $ C $ é uma constante diferente de zero (representa a radioatividade inicial),
  • $ r(t) $ é a quantidade de radioatividade após $ t $ segundos.
A gente precisa descobrir em quanto tempo ($ t $) a substância vai ter apenas um terço da radioatividade que tinha no começo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter um terço da radioatividade inicial. Se no começo a radioatividade era $ C $, então queremos que $ r(t) = \frac{1}{3}C $.
Então, substituindo na fórmula:
C

Passo 3

Vamos simplificar essa equação. Podemos dividir os dois lados por $ C $ (como $ C \neq 0 $):
C

Passo 4

Agora, vamos resolver para $ t $. Primeiro, reconhecemos que $ \frac{1}{3} $ é o mesmo que $ 3^{-1} $. Então:
t

Passo 5

Como as bases são iguais, podemos igualar os expoentes:
-1 = -6t

Passo 6

Agora, resolvemos para $ t $:
t
-1 = -6t
t = -1-6

Resposta

O tempo necessário para que a substância tenha um terço da radioatividade inicial é de $ \frac{1}{6} $ segundos.

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