O decaimento radioativo de uma substância se dá de acordo com a fórmula r(t) = C ∙ 3 −6t, com C sendo uma constante diferente de zero e r(t) a quantidade de radioatividade presente na substância após t segundos desde o início do decaimento. Determine o tempo, em segundos, para que a substância fique com a terça parte da radioatividade que tinha inicialmente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de decaimento radioativo, que é quando uma substância perde sua radioatividade ao longo do tempo. A fórmula que descreve isso é $ r(t) = C \cdot 3^{-6t} $, onde:
- $ C $ é uma constante diferente de zero (representa a radioatividade inicial),
- $ r(t) $ é a quantidade de radioatividade após $ t $ segundos.
A gente precisa descobrir em quanto tempo ($ t $) a substância vai ter apenas um terço da radioatividade que tinha no começo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ter um terço da radioatividade inicial. Se no começo a radioatividade era $ C $, então queremos que $ r(t) = \frac{1}{3}C $.
Então, substituindo na fórmula:
Passo 3
Vamos simplificar essa equação. Podemos dividir os dois lados por $ C $ (como $ C \neq 0 $):
Passo 4
Agora, vamos resolver para $ t $. Primeiro, reconhecemos que $ \frac{1}{3} $ é o mesmo que $ 3^{-1} $. Então:
Passo 5
Como as bases são iguais, podemos igualar os expoentes:
Passo 6
Agora, resolvemos para $ t $:
Resposta
O tempo necessário para que a substância tenha um terço da radioatividade inicial é de $ \frac{1}{6} $ segundos.