Considere a função f(x) = x² + 4x + 3 e faça uma aproximação por uma função linear da forma g(x) = a0 + a1x no intervalo [0, 1]
g(x) = 1,0566 + 3x
g(x) = 2,8333 + 4x
g(x) = 4,8316 - 5x
g(x) = 4,8316 - 4x
g(x) = 2,8333 + 5x
g(x) = 1,0566 + 3x
g(x) = 2,8333 + 4x
g(x) = 4,8316 - 5x
g(x) = 4,8316 - 4x
g(x) = 2,8333 + 5x
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem a função $ f(x) = x^2 + 4x + 3 $ e precisa encontrar uma aproximação linear dela na forma $ g(x) = a_0 + a_1x $ para o intervalo [0, 1]. O conteúdo aqui envolve aproximação linear e ajuste de funções. Para resolver, vamos usar o método dos mínimos quadrados para encontrar os coeficientes $ a_0 $ e $ a_1 $ que melhor aproximam $ f(x) $ nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa aproximar uma função quadrática por uma linear. A ideia é encontrar uma reta que, de alguma forma, ‘se encaixa’ melhor possível na curva da função original no intervalo dado. O método dos mínimos quadrados nos ajuda a minimizar a diferença entre as duas funções ao longo desse intervalo.
Passo 3
Vamos estabelecer as equações necessárias para encontrar $ a_0 $ e $ a_1 $. Para isso, usamos as seguintes integrais no intervalo [0, 1]:
-
A integral de $ f(x) $ em [0, 1]:
-
A integral de $ x $ em [0, 1]:
-
A integral de $ x \cdot f(x) $ em [0, 1]:
Passo 4
Agora, montamos o sistema de equações baseado nessas integrais:
Vamos resolver esse sistema para encontrar $ a_0 $ e $ a_1 $.
Passo 5
Multiplicando a primeira equação por 2 para eliminar o denominador:
Multiplicando a segunda equação por 6:
Agora, temos:
Passo 6
Vamos resolver o sistema:
-
Da primeira equação: $ a_1 = \frac{32}{3} - 2a_0 $.
-
Substituindo na segunda equação:
-
Substituindo $ a_0 $ na expressão de $ a_1 $:
Resposta
A função linear que aproxima $ f(x) = x^2 + 4x + 3 $ no intervalo [0, 1] é: