Considere a função f(x) = x² + 4x + 3 e faça uma aproximação por uma função linear da forma g(x) = a0 + a1x no intervalo [0, 1]
g(x) = 1,0566 + 3x
g(x) = 2,8333 + 4x
g(x) = 4,8316 - 5x
g(x) = 4,8316 - 4x
g(x) = 2,8333 + 5x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem a função $ f(x) = x^2 + 4x + 3 $ e precisa encontrar uma aproximação linear dela na forma $ g(x) = a_0 + a_1x $ para o intervalo [0, 1]. O conteúdo aqui envolve aproximação linear e ajuste de funções. Para resolver, vamos usar o método dos mínimos quadrados para encontrar os coeficientes $ a_0 $ e $ a_1 $ que melhor aproximam $ f(x) $ nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa aproximar uma função quadrática por uma linear. A ideia é encontrar uma reta que, de alguma forma, ‘se encaixa’ melhor possível na curva da função original no intervalo dado. O método dos mínimos quadrados nos ajuda a minimizar a diferença entre as duas funções ao longo desse intervalo.

Passo 3

Vamos estabelecer as equações necessárias para encontrar $ a_0 $ e $ a_1 $. Para isso, usamos as seguintes integrais no intervalo [0, 1]:
  1. A integral de $ f(x) $ em [0, 1]:
    a0
  2. A integral de $ x $ em [0, 1]:
    a1
  3. A integral de $ x \cdot f(x) $ em [0, 1]:
    f(x)

Passo 4

Agora, montamos o sistema de equações baseado nessas integrais:
a0 + a12 = 163 a02 + a13 = 3712
Vamos resolver esse sistema para encontrar $ a_0 $ e $ a_1 $.

Passo 5

Multiplicando a primeira equação por 2 para eliminar o denominador:
2a0 + a1 = 323
Multiplicando a segunda equação por 6:
3a0 + 2a1 = 372
Agora, temos:
2a0 + a1 = 323 3a0 + 2a1 = 372

Passo 6

Vamos resolver o sistema:
  1. Da primeira equação: $ a_1 = \frac{32}{3} - 2a_0 $.
  2. Substituindo na segunda equação:
    a1 = 323 - 2a0
    3a0 + 2( 323 - 2a0 ) = 372
    3a0 + 643 - 4a0 = 372
    -a0 + 643 = 372
    -a0 = 372 - 643 = 1116 - 1286 = -176
  3. Substituindo $ a_0 $ na expressão de $ a_1 $:
    a0 = 176 approx 2,8333

Resposta

A função linear que aproxima $ f(x) = x^2 + 4x + 3 $ no intervalo [0, 1] é:
f(x) = x^2 + 4x + 3

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