O teorema de Green estabelece uma relação entre uma integral de linha sobre uma curva fechada simples C e uma integral dupla na região D delimitada por C. Considerando o contexto apresentado, avalie as seguintes asserções e a relação proposta entre elas. I - O valor da integral é , onde C é o caminho formado pelas curvas e , com e e . PORQUE II - Podemos utilizar o teorema de Green em uma de suas formas vetoriais: , onde R é a região delimitada por C. A respeito dessas asserções, assinale a alternativa correta. Escolha uma:
a. A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
b. As asserções I e II são proposições falsas.
c. A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
d. As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa da I.
e. As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa da I.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre o Teorema de Green, que conecta uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla na região delimitada por essa curva. Precisamos analisar duas afirmações:
  1. O valor da integral de linha $ \int_C \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} , ds $ é $ \frac{1}{3} $, onde a curva $ C $ é formada pelas curvas $ y = x^2 $ e $ y = \sqrt{x} $, para $ x $ e $ y $ entre 0 e 1, e o campo vetorial $ \mathbf{F} = x^2 y \mathbf{i} + x y^2 \mathbf{j} $.
  2. Podemos aplicar o Teorema de Green na forma vetorial: $ \int_C \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} , ds = \iint_R div , \mathbf{F} , dA $, onde $ R $ é a região delimitada por $ C $.
Vamos resolver passo a passo para verificar se cada afirmação é verdadeira ou falsa e entender a relação entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teorema de Green. Ele estabelece que, para um campo vetorial $ \mathbf{F} = P \mathbf{i} + Q \mathbf{j} $ definido em uma região $ R $ com fronteira $ C $, temos:
F = P i + Q j
Aqui, $ div , \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} $ é a divergência de $ \mathbf{F} $.

Passo 3

Vamos calcular a divergência de $ \mathbf{F} = x^2 y \mathbf{i} + x y^2 \mathbf{j} $:
F = x^2 y i + x y^2 j

Passo 4

Agora, precisamos calcular a integral dupla $ \iint_R 4xy , dA $. Para isso, vamos identificar os limites de integração pela região $ R $ delimitada pelas curvas $ y = x^2 $ e $ y = \sqrt{x} $ no intervalo $ x \in [0,1] $.
Primeiro, vamos desenhar ou imaginar as curvas:
  • $ y = x^2 $ é uma parábola que passa por (0,0) e (1,1).
  • $ y = \sqrt{x} $ é a metade superior de uma parábola invertida que também passa por (0,0) e (1,1).
A região $ R $ está entre essas duas curvas de $ x = 0 $ a $ x = 1 $.

Passo 5

Configurando a integral dupla:
integral duplaR 4xy , dA = integralx=0^1 integraly=x^2^raizx 4xy , dy , dx
Vamos resolver a integral interna em relação a $ y $:
y
Agora, integraremos isso de $ x = 0 $ a $ x = 1 $:
integraly=x^2^raizx 4xy , dy = 4x [ y^22 ]x^2^raizx = 4x ( (raizx)^22 - (x^2)^22 ) = 4x ( x2 - x^42 ) = 4x cdot x - x^42 = 2x(x - x^4) = 2x^2 - 2x^5

Passo 6

Portanto, a integral dupla $ \iint_R div , \mathbf{F} , dA = \frac{1}{3} $.
De acordo com o Teorema de Green:
integral duplaR div , F , dA = 13
Isso confirma a asserção I.
Além disso, demonstramos que o Teorema de Green foi aplicado corretamente, confirmando a asserção II.

Resposta

d. As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa da I.

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