Para uma v.a
com
e
, ambos finitos, use a desigualdade de Chebychev para encontrar um limite inferior para a probabilidade
. Compare os limites inferiores para
com as respectivas probabilidades quando
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre uma variável aleatória $ X $ com média $ E[X] = \mu $ e variância $ \sigma^{2}(X) = \sigma^{2} $, ambas finitas. A gente precisa usar a Desigualdade de Chebychev para encontrar um limite inferior para a probabilidade $ P(|X - \mu| < \sigma) $. Depois, vamos comparar esses limites para $ k = 1, 2, 3 $ com as probabilidades reais quando $ X $ segue uma distribuição normal $ N(\mu, \sigma^{2}) $.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a Desigualdade de Chebychev. Ela nos diz que, para qualquer $ k > 0 $:
Isso quer dizer que a probabilidade de $ X $ estar a pelo menos $ k $ desvios-padrão da média é no máximo $ \frac{1}{k^{2}} $.
Passo 3
Mas a gente quer a probabilidade de $ X $ estar dentro de $ k $ desvios-padrão da média, ou seja, $ P(|X - \mu| < k\sigma) $. Para isso, podemos rearranjar a desigualdade:
Então, o limite inferior para $ P(|X - \mu| < k\sigma) $ é $ 1 - \frac{1}{k^{2}} $.
Passo 4
Agora, vamos aplicar isso para $ k = 1, 2, 3 $:
-
Para $ k = 1 $:
-
Para $ k = 2 $:
-
Para $ k = 3 $:
Passo 5
Agora, vamos comparar esses limites com as probabilidades reais quando $ X $ segue uma distribuição normal $ N(\mu, \sigma^{2}) $.
Sabemos que, para uma distribuição normal:
- $ P(|X - \mu| < \sigma) \approx 68,27% $
- $ P(|X - \mu| < 2\sigma) \approx 95,45% $
- $ P(|X - \mu| < 3\sigma) \approx 99,73% $
Resposta
Usando a Desigualdade de Chebychev, encontramos que:
- Para $ k = 1 $: $ P(|X - \mu| < \sigma) \geq 0 $
- Para $ k = 2 $: $ P(|X - \mu| < 2\sigma) \geq 0,75 $
- Para $ k = 3 $: $ P(|X - \mu| < 3\sigma) \geq 0,888\overline{8} $
Comparando com a distribuição normal $ N(\mu, \sigma^{2}) $:
- Com $ k = 1 $, a probabilidade real é $ \approx 68,27% $
- Com $ k = 2 $, a probabilidade real é $ \approx 95,45% $
- Com $ k = 3 $, a probabilidade real é $ \approx 99,73% $
Vemos que a Desigualdade de Chebychev fornece limites inferiores mais conservadores comparados às probabilidades reais da distribuição normal.