Para uma v.a X com E[X]=mu e sigma^2(X)=sigma^2, ambos finitos, use a desigualdade de Chebychev para encontrar um limite inferior para a probabilidade P(|X-mu|. Compare os limites inferiores para k=1,2,3 com as respectivas probabilidades quando X sim N(mu, sigma^2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre uma variável aleatória $ X $ com média $ E[X] = \mu $ e variância $ \sigma^{2}(X) = \sigma^{2} $, ambas finitas. A gente precisa usar a Desigualdade de Chebychev para encontrar um limite inferior para a probabilidade $ P(|X - \mu| < \sigma) $. Depois, vamos comparar esses limites para $ k = 1, 2, 3 $ com as probabilidades reais quando $ X $ segue uma distribuição normal $ N(\mu, \sigma^{2}) $.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a Desigualdade de Chebychev. Ela nos diz que, para qualquer $ k > 0 $:
k > 0
Isso quer dizer que a probabilidade de $ X $ estar a pelo menos $ k $ desvios-padrão da média é no máximo $ \frac{1}{k^{2}} $.

Passo 3

Mas a gente quer a probabilidade de $ X $ estar dentro de $ k $ desvios-padrão da média, ou seja, $ P(|X - \mu| < k\sigma) $. Para isso, podemos rearranjar a desigualdade:
X
Então, o limite inferior para $ P(|X - \mu| < k\sigma) $ é $ 1 - \frac{1}{k^{2}} $.

Passo 4

Agora, vamos aplicar isso para $ k = 1, 2, 3 $:
  • Para $ k = 1 $:
    k = 1, 2, 3
  • Para $ k = 2 $:
    k = 1
  • Para $ k = 3 $:
    P(|X - mu| < sigma) >= 1 - 11^2 = 0

Passo 5

Agora, vamos comparar esses limites com as probabilidades reais quando $ X $ segue uma distribuição normal $ N(\mu, \sigma^{2}) $.
Sabemos que, para uma distribuição normal:
  • $ P(|X - \mu| < \sigma) \approx 68,27% $
  • $ P(|X - \mu| < 2\sigma) \approx 95,45% $
  • $ P(|X - \mu| < 3\sigma) \approx 99,73% $

Resposta

Usando a Desigualdade de Chebychev, encontramos que:
  • Para $ k = 1 $: $ P(|X - \mu| < \sigma) \geq 0 $
  • Para $ k = 2 $: $ P(|X - \mu| < 2\sigma) \geq 0,75 $
  • Para $ k = 3 $: $ P(|X - \mu| < 3\sigma) \geq 0,888\overline{8} $
Comparando com a distribuição normal $ N(\mu, \sigma^{2}) $:
  • Com $ k = 1 $, a probabilidade real é $ \approx 68,27% $
  • Com $ k = 2 $, a probabilidade real é $ \approx 95,45% $
  • Com $ k = 3 $, a probabilidade real é $ \approx 99,73% $
Vemos que a Desigualdade de Chebychev fornece limites inferiores mais conservadores comparados às probabilidades reais da distribuição normal.

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