Considere a função f(x)=crC(2 x-x^3), & 0á
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Poderia f ser uma função densidade de probabilidade? Caso, positivo, determine C.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer saber se a função C(2x - x^3), & 0 < x < 52, 0, & caso contrário á
pode ser uma função densidade de probabilidade. Se sim, a gente precisa descobrir qual é o valor de . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função densidade de probabilidade e quais são as condições que ela deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, o que é uma função densidade de probabilidade? É uma função que descreve a distribuição de probabilidade de uma variável contínua. Para que seja uma função densidade de probabilidade válida, ela precisa satisfazer duas condições principais:
  1. Não-negatividade: para todo .
  2. Integral igual a 1: A área total sob a curva de deve ser igual a 1, ou seja, .
No nosso caso, é diferente de zero apenas no intervalo , então vamos focar nesse intervalo.

Passo 3

Vamos verificar a primeira condição: não-negatividade. A função deve ser maior ou igual a zero nesse intervalo.
Para , temos que:
Vamos analisar o sinal dessa expressão:
  • Em :
  • Em :
Observamos que a expressão começa em 0, aumenta até um certo ponto e depois diminui, sendo negativa em . Isso sugere que a função pode assumir valores negativos no intervalo, dependendo de .

Passo 4

Agora, vamos verificar a segunda condição: a integral de integral0^52 C(2x - x^3) , dx = 1 no intervalo integral (2x - x^3) , dx = x^2 - x^44 deve ser igual a 1.
Vamos calcular a integral:
C [ ( (52)^2 - (52)^44 ) - (0^2 - 0^44) ] = 1
Primeiro, encontramos a antiderivada de (52)^2 = 254 :
(52)^4 = 62516
Agora, avaliamos de 0 a 62516 div 4 = 62564 :
254 - 62564 = 40064 - 62564 = -22564
Calculando os valores:
C times (-22564) = 1 implies C = -64225 approx -0,2844
Portanto:

Passo 5

Agora, vamos verificar se com esse valor de f(x) = -64225(2x - x^3) , a função satisfaz a primeira condição de não-negatividade.
Substituindo na função:
Como vimos no Passo 3, é negativo para no intervalo . Multiplicando por negativo, se torna positivo nesses pontos. Porém, para , é positivo, e multiplicar por negativo tornaria negativo, o que viola a condição de não-negatividade.

Resposta

Não, a função não pode ser uma função densidade de probabilidade válida, pois não satisfaz a condição de não-negatividade em todo o intervalo considerado.

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