Considere a função
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Poderia
ser uma função densidade de probabilidade? Caso, positivo, determine
.
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Poderia
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer saber se a função
pode ser uma função densidade de probabilidade. Se sim, a gente precisa descobrir qual é o valor de . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função densidade de probabilidade e quais são as condições que ela deve satisfazer.
pode ser uma função densidade de probabilidade. Se sim, a gente precisa descobrir qual é o valor de
Passo 2
Primeiro, o que é uma função densidade de probabilidade? É uma função que descreve a distribuição de probabilidade de uma variável contínua. Para que
seja uma função densidade de probabilidade válida, ela precisa satisfazer duas condições principais:
- Não-negatividade:
para todo . - Integral igual a 1: A área total sob a curva de
deve ser igual a 1, ou seja, .
No nosso caso,
é diferente de zero apenas no intervalo
, então vamos focar nesse intervalo.
Passo 3
Vamos verificar a primeira condição: não-negatividade. A função
deve ser maior ou igual a zero nesse intervalo.
Para
, temos que:
Vamos analisar o sinal dessa expressão:
- Em
: - Em
:
Observamos que a expressão
começa em 0, aumenta até um certo ponto e depois diminui, sendo negativa em
. Isso sugere que a função pode assumir valores negativos no intervalo, dependendo de
.
Passo 4
Agora, vamos verificar a segunda condição: a integral de
no intervalo
deve ser igual a 1.
Vamos calcular a integral:
Primeiro, encontramos a antiderivada de
:
Agora, avaliamos de 0 a
:
Calculando os valores:
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos verificar se com esse valor de
, a função
satisfaz a primeira condição de não-negatividade.
Substituindo
na função:
Como vimos no Passo 3,
é negativo para
no intervalo
. Multiplicando por
negativo,
se torna positivo nesses pontos. Porém, para
,
é positivo, e multiplicar por
negativo tornaria
negativo, o que viola a condição de não-negatividade.
Resposta
Não, a função
não pode ser uma função densidade de probabilidade válida, pois não satisfaz a condição de não-negatividade em todo o intervalo considerado.