Suponha que o tempo de vida de uma determinada espécie de inseto tenha um modelo exponencial de parâmetro alpha=112 dia. Suponha também que estes insetos atinjam a maturidade sexual após 3 dias de seu nascimento.
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(a) Qual é a função acumulada de probabilidade e a função densidade de probabilidade, em dias, do tempo de vida dos insetos que conseguem se reproduzir?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o tempo de vida de um inseto que segue uma distribuição exponencial com parâmetro por dia. Além disso, esses insetos alcançam a maturidade sexual após 3 dias de vida. Vamos precisar usar conceitos de distribuição exponencial e probabilidade condicional para encontrar a função acumulada de probabilidade e a função densidade de probabilidade do tempo de vida dos insetos que conseguem se reproduzir.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma distribuição exponencial. Essa distribuição é usada para modelar o tempo até a ocorrência de um evento, como a morte de um inseto. As duas funções principais que vamos usar são:
  • Função Densidade de Probabilidade (PDF):
    f(t) = alpha e^-alpha t, t >= 0
  • Função Acumulada de Probabilidade (CDF):
    F(t) = 1 - e^-alpha t, t >= 0
Onde é a taxa da distribuição.

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar a distribuição do tempo de vida dos insetos que conseguem se reproduzir, ou seja, aqueles que vivem pelo menos 3 dias. Isso significa que estamos interessados na distribuição condicional do tempo de vida dado que .

Passo 4

Para encontrar a distribuição condicional, usamos a seguinte fórmula de probabilidade condicional:
  • Função Densidade Condicional:
    fT|T >= 3(t) = f(t)P(T >= 3), t >= 3
  • Função Acumulada Condicional:
    FT|T >= 3(t) = P(3 <= T <= t)P(T >= 3), t >= 3
Aqui, é a probabilidade de o inseto viver pelo menos 3 dias.

Passo 5

Vamos calcular P(T >= 3) = e^-alpha cdot 3 = e^-112 cdot 3 = e^-14 approx 0,7788 usando a função de sobrevivência da distribuição exponencial, que é :

Passo 6

Agora, vamos substituir fT|T >= 3(t) = alpha e^-alpha te^-alpha cdot 3 = alpha e^-alpha (t - 3), t >= 3 e fT|T >= 3(t) = 112 e^-112(t - 3), t >= 3 na fórmula da função densidade condicional:
Isso simplifica para:

Passo 7

De forma semelhante, vamos encontrar a função acumulada condicional:
Simplificando:
FT|T >= 3(t) = F(t) - F(3)1 - F(3) = 1 - e^-alpha t - (1 - e^-alpha cdot 3)e^-alpha cdot 3 = 1 - e^-alpha (t - 3), t >= 3

Resposta

A função densidade de probabilidade do tempo de vida dos insetos que conseguem se reproduzir é:
fT|T >= 3(t) = 112 e^-112(t - 3), t >= 3
E a função acumulada de probabilidade é:
FT|T >= 3(t) = 1 - e^-112(t - 3), t >= 3
Essas funções descrevem a distribuição do tempo de vida dos insetos considerando que eles já alcançaram a maturidade sexual após 3 dias.

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