Considere a função f(x)=crC(2 x-x^2), & 0á
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Poderia f ser uma função densidade de probabilidade? Caso, positivo, determine C.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função f(x) = C(2x - x^2), & 0 < x < 52 0, & caso contrário definida por partes:
á
O enunciado pergunta se essa função pode ser uma função densidade de probabilidade. Se puder, precisamos descobrir o valor de .
Para resolver isso, vamos precisar saber o que é uma função densidade de probabilidade (pdf) e quais são as condições que ela precisa satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função densidade de probabilidade. Uma pdf deve atender a duas condições principais:
  1. Não negatividade: Para todo , .
  2. Integral total igual a 1: A área sob a curva de em todo o seu domínio deve ser igual a 1.
Vamos verificar se a nossa função satisfaz essas condições.

Passo 3

Verificando a não negatividade:
Olha só a parte da função onde 2x - x^2 = x(2 - x) é diferente de zero: . Nessa região, temos .
Queremos que nesse intervalo. Vamos fatorar:
Para , sabemos que e quando . Para , é negativo, então seria negativo. Isso implica que só é não negativa se for zero ou se limitarmos a .
Mas o enunciado define para . Isso sugere que talvez haja um erro no enunciado ou que consideremos apenas a parte onde é não negativa. Vamos seguir para a próxima condição e ver o que acontece.

Passo 4

Verificando a integral total igual a 1:
Para integral-infty^+infty f(x) , dx = 1 ser uma pdf válida, precisamos que:
integral0^52 C(2x - x^2) , dx = 1
Mas como fora de , a integral fica:
Vamos calcular essa integral para encontrar .

Passo 5

Calculando a integral:
Primeiro, vamos integrar integral (2x - x^2) , dx = integral 2x , dx - integral x^2 , dx = x^2 - x^33 + K :
[ x^2 - x^33 ]0^52 = ( (52)^2 - (52)^33 ) - (0 - 0) = 254 - 12524
Agora, avaliamos de 254 = 15024 a 15024 - 12524 = 2524 :
Vamos simplificar:
Então, a integral é .

Passo 6

Encontrando o valor de C cdot 2524 = 1 :
Sabemos que:
C = 1 div 2524 = 2425
Para encontrar , basta dividir 1 por :

Resposta

Sim, pode ser uma função densidade de probabilidade, e o valor de é .

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