Considere a função
18
Poderia
ser uma função densidade de probabilidade? Caso, positivo, determine
.
18
Poderia
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função
definida por partes:
O enunciado pergunta se essa função pode ser uma função densidade de probabilidade. Se puder, precisamos descobrir o valor de
.
Para resolver isso, vamos precisar saber o que é uma função densidade de probabilidade (pdf) e quais são as condições que ela precisa satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função densidade de probabilidade. Uma pdf deve atender a duas condições principais:
- Não negatividade: Para todo
, . - Integral total igual a 1: A área sob a curva de
em todo o seu domínio deve ser igual a 1.
Vamos verificar se a nossa função
satisfaz essas condições.
Passo 3
Verificando a não negatividade:
Olha só a parte da função onde
é diferente de zero:
. Nessa região, temos
.
Queremos que
nesse intervalo. Vamos fatorar:
Para
, sabemos que
e
quando
. Para
,
é negativo, então
seria negativo. Isso implica que
só é não negativa se
for zero ou se limitarmos
a
.
Mas o enunciado define
para
. Isso sugere que talvez haja um erro no enunciado ou que consideremos apenas a parte onde
é não negativa. Vamos seguir para a próxima condição e ver o que acontece.
Passo 4
Verificando a integral total igual a 1:
Para
ser uma pdf válida, precisamos que:
Mas como
fora de
, a integral fica:
Vamos calcular essa integral para encontrar
.
Passo 5
Calculando a integral:
Primeiro, vamos integrar
:
Agora, avaliamos de
a
:
Vamos simplificar:
Então, a integral é
.
Passo 6
Encontrando o valor de
:
Sabemos que:
Para encontrar
, basta dividir 1 por
:
Resposta
Sim,
pode ser uma função densidade de probabilidade, e o valor de
é
.
Exercícios relacionados
Determine o valor de C para que a
represente uma função densidade de probabilidade. Não deixe o resultado em fração, faça a conta na calculadora!
Realizou-se um teste de um determinado produto de duas empresas A e
tal que média e a variância de erros encontrados em amostras de lotes de produtos dessas empresas são indicados:
Média | Variância | |
---|---|---|
Empresa A | 10 | 3 |
Empresa B | 13 | 4 |
Com base nessas informações, em qual empresa o consumidor deve confiar mais? Justifique.
Dado o seguinte conjunto de dados:
, calcule a média e o desvio padrão.
Considerando um dado de 3 (três) lados, que é arremessado
vezes e
. Qual é a probabilidade de o resultado conter
vezes o número
vezes o número
vezes o número 3 ?