Determine o valor de C para que a f(x) represente uma função densidade de probabilidade. Não deixe o resultado em fração, faça a conta na calculadora!
f(x)=ll C(k x^3-k x), 0á

Passo 1

E aí! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa encontrar o valor de para que a função seja uma função densidade de probabilidade. Isso significa que a área total sob o gráfico de precisa ser igual a 1. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integrais definidas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função que temos:
f(x) = C(kx^3 - kx), & se 0 < x < 2 0, & caso contrário á
Aqui, k = sumi=1^3 hi é definido como:
Assumindo que é uma constante conhecida, nosso objetivo é encontrar tal que a integral de de a seja igual a 1.

Passo 3

Vamos montar a equação para garantir que integral-infty^+infty f(x) , dx = 1 seja uma função densidade de probabilidade:
integral0^2 C(kx^3 - kx) , dx = 1
Como fora do intervalo , a integral simplifica para:

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral:
C integral0^2 (kx^3 - kx) , dx = 1
Fatorando Ck integral0^2 (x^3 - x) , dx = 1 :
integral (x^3 - x) , dx = x^44 - x^22
Calculando a integral:
( 2^44 - 2^22 ) - ( 0 - 0 ) = ( 164 - 42 ) = (4 - 2) = 2
Avaliado de 0 a 2:
Ck times 2 = 1 Rightarrow Ck = 12
Substituindo de volta na equação:
C = 12k
Finalmente, isolando :

Resposta

O valor de é .

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