Considere a função dada por . Determine os pontos críticos de e classifique-os como pontos de máximo, mínimo ou sela.

Passo 1

Então, a gente tem a função . O que a gente precisa fazer aqui é encontrar os pontos críticos dessa função. Mas, o que são pontos críticos? Basicamente, são os pontos onde as derivadas parciais da função em relação a e são iguais a zero. Depois de achar esses pontos, a gente vai classificar cada um deles como ponto de máximo, mínimo ou sela usando o teste da derivada segunda.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e .
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos igualando essas derivadas a zero.
Para :
Para :
Então, os pontos críticos são:

Passo 4

Agora, vamos fazer o teste da derivada segunda para classificar esses pontos. Para isso, precisamos das derivadas segundas da função.
Calculando:
O discriminante é dado por:

Passo 5

Vamos calcular para cada ponto crítico e ver o que ele nos diz:
  1. Ponto (2, )
Como e , esse ponto é um mínimo.
  1. Ponto (2, )
Como , esse ponto é um ponto de sela.
  1. Ponto (-2, )
Como , esse ponto é um ponto de sela.
  1. Ponto (-2, )
Como e , esse ponto é um máximo.

Resposta

Os pontos críticos da função são:
  • — ponto de mínimo.
  • — ponto de sela.
  • — ponto de sela.
  • — ponto de máximo.

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Seja uma função diferenciável definida implicitamente pela equação . Determine as derivadas parciais e .
Determinar, através da definição de continuidade, todos os valores de , para os quais a função abaixo não é contínua.
a)
Determinar, através da definição de continuidade, todos os valores de , para os quais a função abaixo não é contínua.
b)