Considere a função dada por
. Determine os pontos críticos de
e classifique-os como pontos de máximo, mínimo ou sela.
Passo 1
Então, a gente tem a função
. O que a gente precisa fazer aqui é encontrar os pontos críticos dessa função. Mas, o que são pontos críticos? Basicamente, são os pontos onde as derivadas parciais da função em relação a
e
são iguais a zero. Depois de achar esses pontos, a gente vai classificar cada um deles como ponto de máximo, mínimo ou sela usando o teste da derivada segunda.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a
e
.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos igualando essas derivadas a zero.
Para
:
Para
:
Então, os pontos críticos são:
Passo 4
Agora, vamos fazer o teste da derivada segunda para classificar esses pontos. Para isso, precisamos das derivadas segundas da função.
Calculando:
O discriminante
é dado por:
Passo 5
Vamos calcular
para cada ponto crítico e ver o que ele nos diz:
- Ponto (2,
)
Como
e
, esse ponto é um mínimo.
- Ponto (2,
)
Como
, esse ponto é um ponto de sela.
- Ponto (-2,
)
Como
, esse ponto é um ponto de sela.
- Ponto (-2,
)
Como
e
, esse ponto é um máximo.
Resposta
Os pontos críticos da função
são:
-
— ponto de mínimo. -
— ponto de sela. -
— ponto de sela. -
— ponto de máximo.
Exercícios relacionados
Seja
, onde
e
. Determine as derivadas parciais
e
.
Seja
uma função diferenciável definida implicitamente pela equação
. Determine as derivadas parciais
e
.
Determinar, através da definição de continuidade, todos os valores de
, para os quais a função abaixo não é contínua.
a)
a)
Determinar, através da definição de continuidade, todos os valores de
, para os quais a função abaixo não é contínua.
b)
b)