Seja
uma função diferenciável definida implicitamente pela equação
. Determine as derivadas parciais
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
que está definida de forma implícita pela equação
. Nosso objetivo aqui é encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e a
, ou seja,
e
.
Para resolver isso, vamos usar a derivação implícita, que é uma técnica para encontrar derivadas quando as variáveis estão todas misturadas numa equação, sem termos isolados. Além disso, vamos aplicar as derivadas parciais, já que
depende de duas variáveis:
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, vamos derivar toda a equação original com respeito a
, lembrando que
é tratado como constante.
A equação original:
Derivando cada termo:
- A derivada de
em relação a é , já que é constante. - A derivada de
em relação a é , usando a regra da cadeia. - A derivada de
em relação a é , aplicando a regra do produto. - A derivada de
em relação a é , pois é uma constante.
Montando tudo:
Agora, vamos agrupar os termos que contêm
:
Isolando
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Novamente, vamos derivar toda a equação original, mas agora com respeito a
, considerando
constante.
Derivando cada termo:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é .
Montando tudo:
Agrupando os termos com
:
Isolando
:
Resposta
As derivadas parciais são:
e
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Calcule a derivada direcional
, onde
e
é o versor de
. No ponto
determine o vetor que possui direção e sentido de maior crescimento de
. Em seguida, exiba qual é o valor da taxa de crescimento nesta direção.
Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função
dada por
no ponto
.
Seja
, onde
e
. Determine as derivadas parciais
e
.
Considere a função dada por
. Determine os pontos críticos de
e classifique-os como pontos de máximo, mínimo ou sela.