Seja uma função diferenciável definida implicitamente pela equação . Determine as derivadas parciais e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que está definida de forma implícita pela equação . Nosso objetivo aqui é encontrar as derivadas parciais de em relação a e a , ou seja, e .
Para resolver isso, vamos usar a derivação implícita, que é uma técnica para encontrar derivadas quando as variáveis estão todas misturadas numa equação, sem termos isolados. Além disso, vamos aplicar as derivadas parciais, já que depende de duas variáveis: e .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Para isso, vamos derivar toda a equação original com respeito a , lembrando que é tratado como constante.
A equação original:
Derivando cada termo:
  • A derivada de em relação a é , já que é constante.
  • A derivada de em relação a é , usando a regra da cadeia.
  • A derivada de em relação a é , aplicando a regra do produto.
  • A derivada de em relação a é , pois é uma constante.
Montando tudo:
Agora, vamos agrupar os termos que contêm :
Isolando :

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Novamente, vamos derivar toda a equação original, mas agora com respeito a , considerando constante.
Derivando cada termo:
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .
Montando tudo:
Agrupando os termos com :
Isolando :

Resposta

As derivadas parciais são:
e

Exercícios relacionados

Calcule a derivada direcional , onde e é o versor de . No ponto determine o vetor que possui direção e sentido de maior crescimento de . Em seguida, exiba qual é o valor da taxa de crescimento nesta direção.
Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função dada por no ponto .
Seja , onde e . Determine as derivadas parciais e .
Considere a função dada por . Determine os pontos críticos de e classifique-os como pontos de máximo, mínimo ou sela.