Seja z=f(x, y) uma função diferenciável definida implicitamente pela equação x^2 y-z^3+x z=3. Determine as derivadas parciais partial zpartial x e partial zpartial y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função z = f(x, y) que está definida de forma implícita pela equação x^2 y - z^3 + x z = 3. Nosso objetivo aqui é encontrar as derivadas parciais de z em relação a x e a y, ou seja, partial zpartial x e partial zpartial y.
Para resolver isso, vamos usar a derivação implícita, que é uma técnica para encontrar derivadas quando as variáveis estão todas misturadas numa equação, sem termos isolados. Além disso, vamos aplicar as derivadas parciais, já que z depende de duas variáveis: x e y.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de z em relação a x, ou seja, partial zpartial x. Para isso, vamos derivar toda a equação original com respeito a x, lembrando que y é tratado como constante.
A equação original:
x^2 y - z^3 + x z = 3
Derivando cada termo:
  • A derivada de x^2 y em relação a x é 2x y, já que y é constante.
  • A derivada de -z^3 em relação a x é -3 z^2 partial zpartial x, usando a regra da cadeia.
  • A derivada de x z em relação a x é z + x partial zpartial x, aplicando a regra do produto.
  • A derivada de 3 em relação a x é 0, pois é uma constante.
Montando tudo:
2x y - 3 z^2 partial zpartial x + z + x partial zpartial x = 0
Agora, vamos agrupar os termos que contêm partial zpartial x:
(-3 z^2 + x) partial zpartial x = -2x y - z
Isolando partial zpartial x:
partial zpartial x = -2x y - z-3 z^2 + x = 2x y + z3 z^2 - x

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de z em relação a y, ou seja, partial zpartial y. Novamente, vamos derivar toda a equação original, mas agora com respeito a y, considerando x constante.
Derivando cada termo:
  • A derivada de x^2 y em relação a y é x^2.
  • A derivada de -z^3 em relação a y é -3 z^2 partial zpartial y.
  • A derivada de x z em relação a y é x partial zpartial y.
  • A derivada de 3 em relação a y é 0.
Montando tudo:
x^2 - 3 z^2 partial zpartial y + x partial zpartial y = 0
Agrupando os termos com partial zpartial y:
(-3 z^2 + x) partial zpartial y = -x^2
Isolando partial zpartial y:
partial zpartial y = -x^2-3 z^2 + x = x^23 z^2 - x

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = 2x y + z3 z^2 - x
e
partial zpartial y = x^23 z^2 - x

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