Seja , onde e . Determine as derivadas parciais e .

Passo 1

Vamos analisar o enunciado juntos! Temos uma função onde e estão expressos em coordenadas polares: e . Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de em relação a e a , ou seja, e . Para isso, vamos precisar usar a regra da cadeia para derivadas parciais, já que depende de e através de e .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função em termos de e . Substituindo e na expressão de :
Vamos simplificar isso passo a passo.

Passo 3

Expandindo os termos:
Perceba que todos os termos têm , então podemos fatorar:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , . Como está escrita como multiplicado por uma função de , usamos a regra da derivada:

Passo 5

Em seguida, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , . Aqui, tratamos como constante e derivamos a expressão dentro dos parênteses em relação a :
Simplificando:

Resposta

As derivadas parciais são:
e

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Seja uma função diferenciável definida implicitamente pela equação . Determine as derivadas parciais e .
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a)