Seja f(x, y)=x y+2 x^2-y^2, onde x=r cos theta e y=r sen theta. Determine as derivadas parciais partial fpartial r e partial fpartial theta.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado juntos! Temos uma função onde e estão expressos em coordenadas polares: e . Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de em relação a e a , ou seja, e . Para isso, vamos precisar usar a regra da cadeia para derivadas parciais, já que depende de e através de e .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função f(r, theta) = (r cos theta)(r sin theta) + 2(r cos theta)^2 - (r sin theta)^2 em termos de e . Substituindo e na expressão de :
Vamos simplificar isso passo a passo.

Passo 3

Expandindo os termos:
f(r, theta) = r^2 cos theta sin theta + 2r^2 cos^2 theta - r^2 sin^2 theta
Perceba que todos os termos têm f(r, theta) = r^2 ( cos theta sin theta + 2 cos^2 theta - sin^2 theta ) , então podemos fatorar:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de partial fpartial r = 2r ( cos theta sin theta + 2 cos^2 theta - sin^2 theta ) em relação a , . Como está escrita como multiplicado por uma função de , usamos a regra da derivada:

Passo 5

Em seguida, vamos encontrar a derivada parcial de partial fpartial theta = r^2 ( cos theta cos theta - sin theta sin theta + 4 cos theta (-sin theta) - 2 sin theta cos theta ) em relação a partial fpartial theta = r^2 ( cos^2 theta - sin^2 theta - 4 cos theta sin theta - 2 sin theta cos theta ) , partial fpartial theta = r^2 ( cos^2 theta - sin^2 theta - 6 cos theta sin theta ) . Aqui, tratamos como constante e derivamos a expressão dentro dos parênteses em relação a :
Simplificando:

Resposta

As derivadas parciais são:
partial fpartial r = 2r ( cos theta sin theta + 2 cos^2 theta - sin^2 theta )
e
partial fpartial theta = r^2 ( cos^2 theta - sin^2 theta - 6 cos theta sin theta )

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