Seja
, onde
e
. Determine as derivadas parciais
e
.
Passo 1
Vamos analisar o enunciado juntos! Temos uma função
onde
e
estão expressos em coordenadas polares:
e
. Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e a
, ou seja,
e
. Para isso, vamos precisar usar a regra da cadeia para derivadas parciais, já que
depende de
e
através de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
em termos de
e
. Substituindo
e
na expressão de
:
Vamos simplificar isso passo a passo.
Passo 3
Expandindo os termos:
Perceba que todos os termos têm
, então podemos fatorar:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
,
. Como
está escrita como
multiplicado por uma função de
, usamos a regra da derivada:
Passo 5
Em seguida, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
,
. Aqui, tratamos
como constante e derivamos a expressão dentro dos parênteses em relação a
:
Simplificando:
Resposta
As derivadas parciais são:
e
Exercícios relacionados
Seja
uma função diferenciável definida implicitamente pela equação
. Determine as derivadas parciais
e
.
Calcule a derivada direcional
, onde
e
é o versor de
. No ponto
determine o vetor que possui direção e sentido de maior crescimento de
. Em seguida, exiba qual é o valor da taxa de crescimento nesta direção.
Considere a função dada por
. Determine os pontos críticos de
e classifique-os como pontos de máximo, mínimo ou sela.
Determinar, através da definição de continuidade, todos os valores de
, para os quais a função abaixo não é contínua.
a)
a)