Calcule os seguintes limites usando o Teorema do Confronto:
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite usando o Teorema do Confronto, que é uma ferramenta super útil quando a gente consegue “apertar” a função que queremos limitar entre duas outras funções cujo limite já conhecemos. O exercício que temos é:
Aqui, vamos precisar entender como o sen e as potências envolvidas se comportam quando
se aproxima de 0.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o termo
. Sabemos que o sen de qualquer número está sempre entre -1 e 1, ou seja:
Passo 3
Agora, vamos elevar 2 a esses limites. Como a função exponencial preserva a desigualdade:
Ou seja:
Passo 4
Multiplicando toda a desigualdade pela
, que é a mesma coisa que
, temos:
Passo 5
Agora, vamos analisar os limites das funções que estão nos lados da nossa desigualdade quando
tende a 0.
Sabemos que:
Portanto:
Passo 6
Pelo Teorema do Confronto, se uma função está “presa” entre duas funções que têm o mesmo limite, então o limite da função no meio também é esse valor. Ou seja:
Resposta
O limite é igual a 0.
Exercícios relacionados
Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
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Considere a função dada por:
Calcule também
para os pontos
. Use isto e o item (a), para analisar a continuidade de
no ponto
.