Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para testarmos se a EDO
é exata. Se não for, a gente precisa encontrar um fator integrante para torná-la exata. Depois, vamos resolver a EDO e, como temos uma condição inicial
, vamos achar a solução particular. Para isso, vamos usar conceitos de EDOs exatas e fatores integrantes.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a análise. Podemos dividir ambos os lados por
(desde que
):
Agora, vamos colocar essa equação na forma padrão de uma EDO de primeira ordem:
Aqui, temos:
Passo 3
Para verificar se a EDO é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
e ver se elas são iguais.
Vamos calcular:
Como
, a equação é exata!
Passo 4
Já que a EDO é exata, não precisamos encontrar um fator integrante. Vamos seguir para resolver a equação.
Passo 5
Para resolver uma EDO exata, buscamos uma função potencial
tal que:
Vamos integrar
em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
:
Sabemos que isso deve ser igual a
:
Então, a função potencial é:
Passo 6
A solução geral da EDO exata é dada por:
Onde
é uma constante. Substituindo nossa função potencial:
Então, a solução geral é:
Passo 7
Agora, vamos usar a condição inicial
para encontrar a constante
.
Substituindo
e
na solução geral:
Resposta
A solução particular da EDO é:
Exercícios relacionados
Calcule os seguintes limites usando o Teorema do Confronto:
b)
b)
Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
Considere a função dada por:
Calcule também
para os pontos
. Use isto e o item (a), para analisar a continuidade de
no ponto
.
Dada a função
.
- Determine o domínio e represente-o graficamente;
- Encontre a equação e faça um esboço do grafico da curva de nível de
que passa por .