Considere a função f: R R dada por f(x)=|x-52|. Encontre:
f^-1([-3,3])

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por . O objetivo é encontrar o conjunto . Aqui, estamos trabalhando com funções valor absoluto e pré-imagem. Vamos precisar entender como encontrar quais valores de fazem com que esteja no intervalo .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa |x - 52| in [-3, 3] . Isso representa todos os valores de que, quando aplicados na função , resultam em valores dentro do intervalo . Ou seja, queremos resolver a inequação:

Passo 3

Sabemos que o valor absoluto de qualquer número é sempre maior ou igual a zero. Portanto, 0 <= |x - 52| <= 3 nunca será negativo. Assim, podemos simplificar nossa inequação para:

Passo 4

Agora, vamos resolver a inequação |x - a| <= b é equiva<=nte a -b <= x - a <= b . A propriedade do valor absoluto nos diz que:
-3 <= x - 52 <= 3 é
Aplicando isso ao nosso caso, onde e , temos:

Passo 5

Vamos agora resolver as duas partes dessa inequação:
  1. x >= -3 + 52 x >= -62 + 52 x >= -12
  2. x <= 3 + 52 x <= 62 + 52 x <= 112
Para a primeira parte:
Para a segunda parte:

Resposta

Portanto, o conjunto f^-1([-3,3]) = [ -12, 112 ] é o intervalo:

Exercícios relacionados