Dadas as funções
e
, determine condições sobre
e
para que
, quando:
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar condições para os parâmetros
e
nas funções
e
, de modo que a composição
seja igual a
. Estamos trabalhando com funções definidas no conjunto
, que é o conjunto dos inteiros módulo 6. Para resolver isso, vamos precisar entender como compor funções e trabalhar com congruências modulares.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
, que significa aplicar
primeiro e depois
. Então,
Como estamos em
, tudo é calculado módulo 6. Então, simplificamos:
Sabemos que
, então:
Passo 3
Agora, vamos calcular
, que é aplicar
primeiro e depois
. Então,
Novamente, calculamos módulo 6:
Passo 4
Para que
, as duas expressões devem ser iguais para todo
em
. Então, igualamos:
Perceba que o termo
está em ambos os lados e se cancela:
Passo 5
Agora, vamos resolver a congruência
. Subtraindo
de ambos os lados:
Fatorando
:
Passo 6
Queremos encontrar valores de
e
que satisfaçam
. Vamos analisar os possíveis valores de
em
, ou seja,
, e ver para quais desses valores existe um
que satisfaz a equação.
Vamos verificar caso a caso:
-
Se
: -
Se
: Não tem solução. -
Se
: -
Se
: Resolvendo, temos . Em , isso significa ou . -
Se
: Resolvendo, não há solução já que 3 e 6 não são coprimos e 4 não é múltiplo de 3. -
Se
: Resolvendo, não há solução já que 2 e 6 não são coprimos e 5 não é múltiplo de 2.
Resposta
As condições sobre
e
são:
- Se
: - Se
: - Se
: pode ser 2 ou 5
Para os demais valores de
em
, não há valor de
que satisfaça
.