Dadas as funções f(x)=3 x+m e g(x)=a x+2, determine condições sobre a e m para que (f circ g)(x)=(g circ f)(x), quando:
f: Z6 Z6 e g: Z6 Z6

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar condições para os parâmetros e nas funções e , de modo que a composição seja igual a . Estamos trabalhando com funções definidas no conjunto , que é o conjunto dos inteiros módulo 6. Para resolver isso, vamos precisar entender como compor funções e trabalhar com congruências modulares.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular (f circ g)(x) = f(g(x)) = f(a x + 2) = 3(a x + 2) + m = 3a x + 6 + m , que significa aplicar (f circ g)(x) equiv 3a x + (6 + m) pmod6 primeiro e depois (f circ g)(x) equiv 3a x + m pmod6 . Então,
Como estamos em , tudo é calculado módulo 6. Então, simplificamos:
Sabemos que , então:

Passo 3

Agora, vamos calcular (g circ f)(x) = g(f(x)) = g(3x + m) = a(3x + m) + 2 = 3a x + a m + 2 , que é aplicar (g circ f)(x) equiv 3a x + a m + 2 pmod6 primeiro e depois . Então,
Novamente, calculamos módulo 6:

Passo 4

Para que 3a x + m equiv 3a x + a m + 2 pmod6 , as duas expressões devem ser iguais para todo m equiv a m + 2 pmod6 em . Então, igualamos:
Perceba que o termo está em ambos os lados e se cancela:

Passo 5

Agora, vamos resolver a congruência m - a m equiv 2 pmod6 . Subtraindo m(1 - a) equiv 2 pmod6 de ambos os lados:
Fatorando :

Passo 6

Queremos encontrar valores de m(1 - 0) equiv m equiv 2 pmod6 Rightarrow m = 2 e m(1 - 1) equiv 0 equiv 2 pmod6 que satisfaçam m(1 - 2) equiv -m equiv 2 pmod6 Rightarrow m equiv -2 equiv 4 pmod6 . Vamos analisar os possíveis valores de m(1 - 3) equiv -2m equiv 2 pmod6 Rightarrow 2m equiv -2 equiv 4 pmod6 em m(1 - 4) equiv -3m equiv 2 pmod6 Rightarrow 3m equiv -2 equiv 4 pmod6 , ou seja, m(1 - 5) equiv -4m equiv 2 pmod6 Rightarrow 2m equiv -1 equiv 5 pmod6 , e ver para quais desses valores existe um que satisfaz a equação.
Vamos verificar caso a caso:
  • Se :
  • Se :
    Não tem solução.
  • Se :
  • Se :
    Resolvendo , temos . Em , isso significa ou .
  • Se :
    Resolvendo , não há solução já que 3 e 6 não são coprimos e 4 não é múltiplo de 3.
  • Se :
    Resolvendo , não há solução já que 2 e 6 não são coprimos e 5 não é múltiplo de 2.

Resposta

As condições sobre e são:
  • Se :
  • Se :
  • Se : pode ser 2 ou 5
Para os demais valores de em , não há valor de que satisfaça .

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