Dadas as funções e , determine condições sobre e para que , quando: e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar condições para os parâmetros e nas funções e , de modo que a composição seja igual a . Estamos trabalhando com funções definidas no conjunto , que é o conjunto dos inteiros módulo 6. Para resolver isso, vamos precisar entender como compor funções e trabalhar com congruências modulares.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular , que significa aplicar primeiro e depois . Então,
Como estamos em , tudo é calculado módulo 6. Então, simplificamos:
Sabemos que , então:
Passo 3
Agora, vamos calcular , que é aplicar primeiro e depois . Então,
Novamente, calculamos módulo 6:
Passo 4
Para que , as duas expressões devem ser iguais para todo em . Então, igualamos:
Perceba que o termo está em ambos os lados e se cancela:
Passo 5
Agora, vamos resolver a congruência . Subtraindo de ambos os lados:
Fatorando :
Passo 6
Queremos encontrar valores de e que satisfaçam . Vamos analisar os possíveis valores de em , ou seja, , e ver para quais desses valores existe um que satisfaz a equação.
Vamos verificar caso a caso:
Se :
Se :
Não tem solução.
Se :
Se :
Resolvendo , temos . Em , isso significa ou .
Se :
Resolvendo , não há solução já que 3 e 6 não são coprimos e 4 não é múltiplo de 3.
Se :
Resolvendo , não há solução já que 2 e 6 não são coprimos e 5 não é múltiplo de 2.
Resposta
As condições sobre e são:
Se :
Se :
Se : pode ser 2 ou 5
Para os demais valores de em , não há valor de que satisfaça .