Considere a função definida por f(x)=(x^2+4)/(4-x^2). Determine, caso existam:
(e) ( 1/2 ponto) faça um esboço do gráfico de f.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente fazer um esboço do gráfico da função . Isso entra na matéria de funções racionais e gráficos de funções. Para resolver, vamos precisar identificar pontos importantes como assíntotas, interceptos e o comportamento da função.

Passo 2

Primeiro, vamos achar os domínios da função. A função não pode ter divisão por zero, então o denominador não pode ser zero.
Então, e são pontos onde a função não está definida, indicando a presença de assíntotas verticais nessas abscissas.

Passo 3

Agora, vamos encontrar as interceptações com os eixos.
  • Intercepto com o eixo y: acontece quando .
Então, o intercepto com o eixo y é em .
  • Intercepto com o eixo x: acontece quando .
Não há solução real para essa equação, então a função não intercepta o eixo x.

Passo 4

Vamos identificar as assíntotas horizontais. Observamos o comportamento da função quando tende ao infinito.
Então, a assíntota horizontal é .

Passo 5

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  • A função tem assíntotas verticais em e .
  • A assíntota horizontal está em .
  • O único intercepto com o eixo y está em .
  • A função não cruza o eixo x.

Resposta

O esboço do gráfico de apresenta duas assíntotas verticais em e , uma assíntota horizontal em , e passa pelo ponto no eixo y. A função não intercepta o eixo x. O gráfico se aproxima das assíntotas conforme se afasta do ponto central.

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