Considere a função definida por
. Determine, caso existam:
(e) (
ponto) faça um esboço do gráfico de
.
(e) (
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente fazer um esboço do gráfico da função
. Isso entra na matéria de funções racionais e gráficos de funções. Para resolver, vamos precisar identificar pontos importantes como assíntotas, interceptos e o comportamento da função.
Passo 2
Primeiro, vamos achar os domínios da função. A função não pode ter divisão por zero, então o denominador
não pode ser zero.
Então,
e
são pontos onde a função não está definida, indicando a presença de assíntotas verticais nessas abscissas.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as interceptações com os eixos.
- Intercepto com o eixo y: acontece quando
.
Então, o intercepto com o eixo y é em
.
- Intercepto com o eixo x: acontece quando
.
Não há solução real para essa equação, então a função não intercepta o eixo x.
Passo 4
Vamos identificar as assíntotas horizontais. Observamos o comportamento da função quando
tende ao infinito.
Então, a assíntota horizontal é
.
Passo 5
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
- A função tem assíntotas verticais em
e . - A assíntota horizontal está em
. - O único intercepto com o eixo y está em
. - A função não cruza o eixo x.
Resposta
O esboço do gráfico de
apresenta duas assíntotas verticais em
e
, uma assíntota horizontal em
, e passa pelo ponto
no eixo y. A função não intercepta o eixo x. O gráfico se aproxima das assíntotas conforme
se afasta do ponto central.