Considere a função definida por . Determine, caso existam:
(a) ( ponto) os intervalos onde é crescente e decrescente;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente analisar a função e descobrir em quais intervalos ela está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a entender como a função se comporta.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função . A derivada nos mostra a taxa de variação da função. Se a derivada for positiva em um intervalo, a função está crescendo lá. Se for negativa, está decrescendo.

Passo 3

Vamos calcular a derivada usando a regra do quociente. Para uma função , a derivada é .
Aqui, e .
Calculando e .
Então, a derivada fica:

Passo 4

Agora, vamos analisar o sinal de para determinar onde a função é crescente ou decrescente.
A expressão tem o denominador sempre positivo, porque qualquer número ao quadrado é positivo. Então, o sinal de depende apenas do numerador .
  • Se : ⇒ função crescente.
  • Se : ⇒ função decrescente.

Passo 5

Também precisamos considerar os pontos onde a função não está definida, que são e , já que o denominador se torna zero nesses valores.
Então, dividindo em intervalos:
  • Intervalo : ⇒ decrescente.
  • Intervalo : ⇒ decrescente.
  • Intervalo : ⇒ crescente.
  • Intervalo : ⇒ crescente.

Resposta

A função é decrescente nos intervalos e , e crescente nos intervalos e .

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.