Considere a função definida por
. Determine, caso existam:
(a) (
ponto) os intervalos onde
é crescente e decrescente;
(a) (
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente analisar a função
e descobrir em quais intervalos ela está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a entender como a função se comporta.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos mostra a taxa de variação da função. Se a derivada for positiva em um intervalo, a função está crescendo lá. Se for negativa, está decrescendo.
Passo 3
Vamos calcular a derivada usando a regra do quociente. Para uma função
, a derivada é
.
Aqui,
e
.
Calculando
e
.
Então, a derivada fica:
Passo 4
Agora, vamos analisar o sinal de
para determinar onde a função é crescente ou decrescente.
A expressão
tem o denominador sempre positivo, porque qualquer número ao quadrado é positivo. Então, o sinal de
depende apenas do numerador
.
- Se
: ⇒ ⇒ função crescente. - Se
: ⇒ ⇒ função decrescente.
Passo 5
Também precisamos considerar os pontos onde a função não está definida, que são
e
, já que o denominador
se torna zero nesses valores.
Então, dividindo em intervalos:
- Intervalo
: ⇒ decrescente. - Intervalo
: ⇒ decrescente. - Intervalo
: ⇒ crescente. - Intervalo
: ⇒ crescente.
Resposta
A função
é decrescente nos intervalos
e
, e crescente nos intervalos
e
.
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.
(e) (
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.