Considere a função definida por . Determine, caso existam:
(b) ( ponto) os pontos máximos e mínimos locais e globais de ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função matemática, que é . O objetivo aqui é descobrir se essa função tem pontos máximos ou mínimos, tanto locais quanto globais. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, mais especificamente derivadas, para analisar o comportamento da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar os pontos máximos e mínimos de uma função, a gente precisa encontrar onde a derivada da função é zero ou não existe. Esses pontos são chamados de pontos críticos. Então, vamos começar calculando a derivada de .

Passo 3

A função é uma divisão de duas funções, então vamos usar a regra do quociente para derivar. A regra do quociente diz que se temos , a derivada é:
Aplicando isso à nossa função:

Passo 4

Agora, aplicando a regra do quociente:
Vamos simplificar o numerador:
Então, a derivada fica:

Passo 5

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, onde ou onde a derivada não existe.
  1. :
  1. Derivada não existe quando o denominador é zero:
Então, temos um ponto crítico em e pontos onde a derivada não existe em e .

Passo 6

Vamos analisar cada ponto:
  1. x = 0:
Para determinar se é um máximo ou mínimo, podemos usar o teste da segunda derivada ou analisar a variação da derivada.
Calculando a segunda derivada pode ser complicado, então vamos olhar como a derivada muda ao redor de :
  • Para , digamos :
  • Para , digamos :
A derivada passa de negativa para positiva em , o que indica que é um ponto mínimo local.
  1. x = 2 e x = -2:
Nesses pontos, a função não está definida porque o denominador . Portanto, não são considerados pontos máximos ou mínimos, mas sim assíntotas verticais.

Passo 7

Agora, vamos verificar se o ponto mínimo local em também é um mínimo global. Para isso, analisamos o comportamento da função para indo para e .
A função tende a -1 quando vai para infinito positivo ou negativo. O valor de é:
Como 1 é maior que o limite -1, o ponto em é o mínimo global da função.

Resposta

A função possui um mínimo local e global em . Não há pontos máximos locais ou globais.

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Considere a função definida por . Determine, caso existam:
(d) ( ponto) as assíntotas de
Considere a função definida por . Determine, caso existam:
(a) ( ponto) os intervalos onde é crescente e decrescente;
Considere a função definida por . Determine, caso existam:
(e) ( ponto) faça um esboço do gráfico de .