Considere a função definida por
. Determine, caso existam:
(b) (
ponto) os pontos máximos e mínimos locais e globais de
;
(b) (
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função matemática, que é
. O objetivo aqui é descobrir se essa função tem pontos máximos ou mínimos, tanto locais quanto globais. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, mais especificamente derivadas, para analisar o comportamento da função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar os pontos máximos e mínimos de uma função, a gente precisa encontrar onde a derivada da função é zero ou não existe. Esses pontos são chamados de pontos críticos. Então, vamos começar calculando a derivada de
.
Passo 3
A função é uma divisão de duas funções, então vamos usar a regra do quociente para derivar. A regra do quociente diz que se temos
, a derivada
é:
Aplicando isso à nossa função:
Passo 4
Agora, aplicando a regra do quociente:
Vamos simplificar o numerador:
Então, a derivada fica:
Passo 5
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, onde
ou onde a derivada não existe.
-
:
- Derivada não existe quando o denominador é zero:
Então, temos um ponto crítico em
e pontos onde a derivada não existe em
e
.
Passo 6
Vamos analisar cada ponto:
- x = 0:
Para determinar se é um máximo ou mínimo, podemos usar o teste da segunda derivada ou analisar a variação da derivada.
Calculando a segunda derivada pode ser complicado, então vamos olhar como a derivada muda ao redor de
:
- Para
, digamos : - Para
, digamos :
A derivada passa de negativa para positiva em
, o que indica que
é um ponto mínimo local.
- x = 2 e x = -2:
Nesses pontos, a função não está definida porque o denominador
. Portanto, não são considerados pontos máximos ou mínimos, mas sim assíntotas verticais.
Passo 7
Agora, vamos verificar se o ponto mínimo local em
também é um mínimo global. Para isso, analisamos o comportamento da função para
indo para
e
.
A função tende a -1 quando
vai para infinito positivo ou negativo. O valor de
é:
Como 1 é maior que o limite -1, o ponto em
é o mínimo global da função.
Resposta
A função
possui um mínimo local e global em
. Não há pontos máximos locais ou globais.
Exercícios relacionados
Um comedouro de ração em um aviário no formato de um cone invertido com o raio do topo medindo 40 cm e de altura 60 cm reduz sua quantidade da ração a uma taxa constante de
. Qual é a taxa de variação da altura da ração quando ela está com 25 cm ?
Considere a função definida por
. Determine, caso existam:
(d) ( ponto) as assíntotas de
(d) (
Considere a função definida por
. Determine, caso existam:
(a) ( ponto) os intervalos onde
é crescente e decrescente;
(a) (
Considere a função definida por
. Determine, caso existam:
(e) ( ponto) faça um esboço do gráfico de
.
(e) (