Considere a função definida por f(x) = -x² + 4x - 2.
a) Determine os zeros de f, se houver.
b) Calcule as coordenadas do vértice de seu gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que a gente tem envolve a função quadrática $ f(x) = -x^2 + 4x - 2 $. Vamos precisar entender dois conceitos principais: zeros da função e vértice do gráfico. Os zeros são os pontos onde a função cruza o eixo x, e o vértice é o ponto mais alto ou mais baixo da parábola que representa a função. Para resolver isso, vamos usar a fórmula de Bhaskara e a fórmula do vértice.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os zeros da função. Os zeros são os valores de $ x $ que fazem $ f(x) = 0 $. Então, temos a equação:
x
Para resolver essa equação quadrática, vamos usar a fórmula de Bhaskara, que é:
f(x) = 0
Aqui, $ a = -1 $, $ b = 4 $ e $ c = -2 - x^2 + 4x - 2 = 0 \Delta $) primeiro:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Como $ \Delta > 0 $, a equação tem dois zeros reais. Agora, vamos encontrar os valores de $ x $:
a = -1
Dividindo numerador e denominador por 2:
b = 4
Então, os zeros são:
c = -2

Passo 3

Agora, vamos calcular as coordenadas do vértice do gráfico da função. O vértice de uma parábola dada por $ f(x) = ax^2 + bx + c $ tem coordenadas $ (h, k) $, onde:
f(x) = ax^2 + bx + c
Aqui, $ a = -1 $, $ b = 4 $. Vamos encontrar $ h $:
(h, k)
Agora, substituímos $ h $ na função para encontrar $ k $:
h = -b2a e k = f(h)
Então, as coordenadas do vértice são $ (2, 2) $.

Resposta

a) Os zeros da função $ f(x) = -x^2 + 4x - 2 $ são $ x_1 = 2 + \sqrt{2} $ e $ x_2 = 2 - \sqrt{2} $.
b) As coordenadas do vértice do gráfico são $ (2, 2) $.

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