Considere a função definida por f(x) = -x² + 4x - 2.
a) Determine os zeros de f, se houver.
b) Calcule as coordenadas do vértice de seu gráfico.
a) Determine os zeros de f, se houver.
b) Calcule as coordenadas do vértice de seu gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que a gente tem envolve a função quadrática $ f(x) = -x^2 + 4x - 2 $. Vamos precisar entender dois conceitos principais: zeros da função e vértice do gráfico. Os zeros são os pontos onde a função cruza o eixo x, e o vértice é o ponto mais alto ou mais baixo da parábola que representa a função. Para resolver isso, vamos usar a fórmula de Bhaskara e a fórmula do vértice.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os zeros da função. Os zeros são os valores de $ x $ que fazem $ f(x) = 0 $. Então, temos a equação:
Para resolver essa equação quadrática, vamos usar a fórmula de Bhaskara, que é:
Aqui, $ a = -1 $, $ b = 4 $ e $ c = -2
\Delta $) primeiro:
Como $ \Delta > 0 $, a equação tem dois zeros reais. Agora, vamos encontrar os valores de $ x $:
Dividindo numerador e denominador por 2:
Então, os zeros são:
Passo 3
Agora, vamos calcular as coordenadas do vértice do gráfico da função. O vértice de uma parábola dada por $ f(x) = ax^2 + bx + c $ tem coordenadas $ (h, k) $, onde:
Aqui, $ a = -1 $, $ b = 4 $. Vamos encontrar $ h $:
Agora, substituímos $ h $ na função para encontrar $ k $:
Então, as coordenadas do vértice são $ (2, 2) $.
Resposta
a) Os zeros da função $ f(x) = -x^2 + 4x - 2 $ são $ x_1 = 2 + \sqrt{2} $ e $ x_2 = 2 - \sqrt{2} $.
b) As coordenadas do vértice do gráfico são $ (2, 2) $.