Considere a função densidade de probabilidade dada por
se
e
se
. Determine e esboce o gráfico da função de distribuição
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função densidade de probabilidade
para
e
para
. Nosso objetivo é determinar e desenhar o gráfico da função de distribuição acumulada
. Para isso, vamos precisar entender o que é função de distribuição acumulada e como ela está relacionada com a função densidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função de distribuição acumulada
é a probabilidade de a variável aleatória
ser menor ou igual a
. Matemáticamente, isso é representado por:
Como nossa função densidade
é zero para
, podemos simplificar a integral para:
Passo 3
Vamos calcular essa integral. A integral de
em relação a
é:
Onde
é a constante de integração. Aplicando os limites de integração de 1 até
:
Então, para
, a função de distribuição acumulada é:
Passo 4
Agora, vamos considerar os diferentes intervalos de
:
-
Para
: Como a função densidade é zero, não existe probabilidade acumulada até esse ponto. Portanto: -
Para
: Já calculamos que:
Passo 5
Vamos resumir a função de distribuição acumulada
assim:
Passo 6
Para esboçar o gráfico de
, vamos observar o comportamento em cada intervalo:
-
Para
: . O gráfico fica no eixo horizontal. -
Para
: começa em com e cresce até chegar a 1 conforme aumenta.
O gráfico será uma linha horizontal em 0 até
, e depois uma curva que se aproxima de 1 à medida que
vai para o infinito.
Resposta
A função de distribuição acumulada é: