Considere a função densidade de probabilidade dada por f(x)=1x^2 se x >= 1 e f(x)=0 se x<1. Determine e esboce o gráfico da função de distribuição F.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função densidade de probabilidade para e para . Nosso objetivo é determinar e desenhar o gráfico da função de distribuição acumulada . Para isso, vamos precisar entender o que é função de distribuição acumulada e como ela está relacionada com a função densidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função de distribuição acumulada F(x) = P(X <= x) = integral-infty^x f(t) , dt é a probabilidade de a variável aleatória F(x) = integral1^x 1t^2 , dt para x >= 1 ser menor ou igual a . Matemáticamente, isso é representado por:
Como nossa função densidade é zero para , podemos simplificar a integral para:

Passo 3

Vamos calcular essa integral. A integral de integral 1t^2 , dt = -1t + C em relação a F(x) = [ -1t ]1^x = -1x - ( -11 ) = 1 - 1x é:
F(x) = 1 - 1x
Onde é a constante de integração. Aplicando os limites de integração de 1 até :
Então, para , a função de distribuição acumulada é:

Passo 4

Agora, vamos considerar os diferentes intervalos de F(x) = 0 :
  1. Para F(x) = 1 - 1x : Como a função densidade é zero, não existe probabilidade acumulada até esse ponto. Portanto:
  2. Para : Já calculamos que:

Passo 5

Vamos resumir a função de distribuição acumulada F(x) = 0 & se x < 1 1 - 1x & se x >= 1 assim:

Passo 6

Para esboçar o gráfico de , vamos observar o comportamento em cada intervalo:
  • Para : . O gráfico fica no eixo horizontal.
  • Para : começa em com e cresce até chegar a 1 conforme aumenta.
O gráfico será uma linha horizontal em 0 até , e depois uma curva que se aproxima de 1 à medida que vai para o infinito.

Resposta

A função de distribuição acumulada é:
F(x) = 0 & se x < 1 1 - 1x & se x >= 1

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