Considere a função densidade de probabilidade dada por se e se . Determine e esboce o gráfico da função de distribuição .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função densidade de probabilidade para e para . Nosso objetivo é determinar e desenhar o gráfico da função de distribuição acumulada . Para isso, vamos precisar entender o que é função de distribuição acumulada e como ela está relacionada com a função densidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função de distribuição acumulada é a probabilidade de a variável aleatória ser menor ou igual a . Matemáticamente, isso é representado por:
Como nossa função densidade é zero para , podemos simplificar a integral para:

Passo 3

Vamos calcular essa integral. A integral de em relação a é:
Onde é a constante de integração. Aplicando os limites de integração de 1 até :
Então, para , a função de distribuição acumulada é:

Passo 4

Agora, vamos considerar os diferentes intervalos de :
  1. Para : Como a função densidade é zero, não existe probabilidade acumulada até esse ponto. Portanto:
  2. Para : Já calculamos que:

Passo 5

Vamos resumir a função de distribuição acumulada assim:

Passo 6

Para esboçar o gráfico de , vamos observar o comportamento em cada intervalo:
  • Para : . O gráfico fica no eixo horizontal.
  • Para : começa em com e cresce até chegar a 1 conforme aumenta.
O gráfico será uma linha horizontal em 0 até , e depois uma curva que se aproxima de 1 à medida que vai para o infinito.

Resposta

A função de distribuição acumulada é:

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Suponha que o tempo de duração de um determinado tipo de bateria seja uma variável aleatória contínua com função de densidade de probabilidade dada por:
sendo o tempo medido em anos.
(a) É razoável tomar como função densidade de probabilidade para a variável aleatória ?
(b) Qual a probabilidade de a bateria durar no máximo um ano?
© Qual a probabilidade de o tempo de duração da bateria estar compreendido entre 1 e 3 anos?
(d) Qual a probabilidade de a bateria durar mais de 3 anos?
Seja a função dada por .
(a) Encontre a constante para que a seja uma função de probabilidade;
(b) Com o valor de encontrado, calcule e ;
© Calcule e .
Seja uma variável aleatória discreta bidimensional cuja distribuição de probabilidade conjunta é apresentada a seguir:
-1 0 1
-1
0 0 0 0 0
1 0
1
a) Obtenha a .
b) Obtenha a
Seja uma v.a. com f.d.p. dada por , se .
Calcule:
(a) Encontre para que seja uma f.d.p.
(b) Encontre sua f.d.a.
© Calcule a média e a variância de .