Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma variável aleatória com a função densidade de probabilidade (f.d.p.) definida por no intervalo . A gente precisa:
Encontrar o valor de para que seja realmente uma f.d.p.
Determinar a função distribuição acumulada (f.d.a.) .
Calcular a média e a variância de .
Vamos precisar lembrar que, para ser uma f.d.p., é necessário que a integral de em todo o seu domínio seja igual a 1. Também vamos usar conceitos básicos de cálculo para achar a f.d.a., a média e a variância.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar de modo que seja uma f.d.p. Para isso, a integral de de até precisa ser igual a 1:
Vamos resolver essa integral. A integral de é , então:
Agora, vamos resolver para :
Passo 3
Agora que sabemos que , vamos encontrar a função distribuição acumulada (f.d.a.) . A f.d.a. é dada pela integral da f.d.p. de até :
Integrando , temos:
Portanto, a f.d.a. de é:
Passo 4
Agora, vamos calcular a média (esperança) e a variância de .
Primeiro, a média é dada por:
Integrando , temos:
Agora, para calcular a variância , precisamos do :