Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma variável aleatória com a função densidade de probabilidade (f.d.p.) definida por no intervalo . A gente precisa:
Encontrar o valor de para que seja realmente uma f.d.p.
Determinar a função distribuição acumulada (f.d.a.) .
Calcular a média e a variância de .
Vamos precisar lembrar que, para ser uma f.d.p., é necessário que a integral de em todo o seu domínio seja igual a 1. Também vamos usar conceitos básicos de cálculo para achar a f.d.a., a média e a variância.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar de modo que seja uma f.d.p. Para isso, a integral de de até precisa ser igual a 1:
Vamos resolver essa integral. A integral de é , então:
Agora, vamos resolver para :
Passo 3
Agora que sabemos que F(x) = integral0^x 1raizt , dt , vamos encontrar a função distribuição acumulada (f.d.a.) F(x) = 2raizt |0^x = 2raizx - 0 = 2raizx . A f.d.a. é dada pela integral da f.d.p. de F(x) = 2raizx para 0 <= x <= 14 até :
Integrando , temos:
Portanto, a f.d.a. de é:
Passo 4
Agora, vamos calcular a média (esperança) e a variância de E[X] = integral0^k x cdot f(x) , dx = integral0^14 x cdot 1raizx , dx = integral0^14 raizx , dx .
Primeiro, a média E[X] = 23 x^32 |0^14 = 23 ( (14)^32 - 0 ) = 23 cdot 18 = 112 é dada por: