Seja uma v.a. com f.d.p. dada por , se .
Calcule:
(a) Encontre para que seja uma f.d.p.
(b) Encontre sua f.d.a.
© Calcule a média e a variância de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma variável aleatória com a função densidade de probabilidade (f.d.p.) definida por no intervalo . A gente precisa:
  1. Encontrar o valor de para que seja realmente uma f.d.p.
  2. Determinar a função distribuição acumulada (f.d.a.) .
  3. Calcular a média e a variância de .
Vamos precisar lembrar que, para ser uma f.d.p., é necessário que a integral de em todo o seu domínio seja igual a 1. Também vamos usar conceitos básicos de cálculo para achar a f.d.a., a média e a variância.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar de modo que seja uma f.d.p. Para isso, a integral de de até precisa ser igual a 1:
Vamos resolver essa integral. A integral de é , então:
Agora, vamos resolver para :

Passo 3

Agora que sabemos que , vamos encontrar a função distribuição acumulada (f.d.a.) . A f.d.a. é dada pela integral da f.d.p. de até :
Integrando , temos:
Portanto, a f.d.a. de é:

Passo 4

Agora, vamos calcular a média (esperança) e a variância de .
Primeiro, a média é dada por:
Integrando , temos:
Agora, para calcular a variância , precisamos do :
Integrando , temos:
Agora, a variância é:

Resposta

a)
b) A função distribuição acumulada é para
c) A média de é e a variância é

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Seja uma variável aleatória discreta bidimensional cuja distribuição de probabilidade conjunta é apresentada a seguir:
-1 0 1
-1
0 0 0 0 0
1 0
1
a) Obtenha a .
b) Obtenha a
Considere a função densidade de probabilidade dada por se e se . Determine e esboce o gráfico da função de distribuição .
Determine para que a função dada seja uma função densidade de probabilidade:
(a) para e para .
(b) para todo real.
© para para ou .
(d) para todo real.
(e) para e para .
Seja uma v.a.d. que pode assumir qualquer valor do conjunto e com probabilidades . Esboce o gráfico da função de distribuição da v.a. .