Seja uma v.a. X com f.d.p. dada por f(x)=1raizx, se 0 <= x <= k.
Calcule:
(a) Encontre k para que f(x) seja uma f.d.p.
(b) Encontre sua f.d.a. F(x)
© Calcule a média e a variância de X.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma variável aleatória com a função densidade de probabilidade (f.d.p.) definida por no intervalo . A gente precisa:
  1. Encontrar o valor de para que seja realmente uma f.d.p.
  2. Determinar a função distribuição acumulada (f.d.a.) .
  3. Calcular a média e a variância de .
Vamos precisar lembrar que, para ser uma f.d.p., é necessário que a integral de em todo o seu domínio seja igual a 1. Também vamos usar conceitos básicos de cálculo para achar a f.d.a., a média e a variância.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar integral0^k 1raizx , dx = 1 de modo que 2raizx |0^k = 2raizk - 0 = 2raizk = 1 seja uma f.d.p. Para isso, a integral de 2raizk = 1 raizk = 12 k = ( 12 )^2 k = 14 de até precisa ser igual a 1:
Vamos resolver essa integral. A integral de é , então:
Agora, vamos resolver para :

Passo 3

Agora que sabemos que F(x) = integral0^x 1raizt , dt , vamos encontrar a função distribuição acumulada (f.d.a.) F(x) = 2raizt |0^x = 2raizx - 0 = 2raizx . A f.d.a. é dada pela integral da f.d.p. de F(x) = 2raizx para 0 <= x <= 14 até :
Integrando , temos:
Portanto, a f.d.a. de é:

Passo 4

Agora, vamos calcular a média (esperança) e a variância de E[X] = integral0^k x cdot f(x) , dx = integral0^14 x cdot 1raizx , dx = integral0^14 raizx , dx .
Primeiro, a média E[X] = 23 x^32 |0^14 = 23 ( (14)^32 - 0 ) = 23 cdot 18 = 112 é dada por:
E[X^2] = integral0^14 x^2 cdot 1raizx , dx = integral0^14 x^32 , dx
Integrando E[X^2] = 25 x^52 |0^14 = 25 ( (14)^52 - 0 ) = 25 cdot 132 = 180 , temos:
Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = 180 - ( 112 )^2 = 180 - 1144 = 9 - 5720 = 4720 = 1180
Agora, para calcular a variância , precisamos do :
Integrando , temos:
Agora, a variância é:

Resposta

a)
b) A função distribuição acumulada é para
c) A média de é e a variância é

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