Suponha que o tempo de duração de um determinado tipo de bateria seja uma variável aleatória
contínua com função de densidade de probabilidade dada por:
sendo o tempo medido em anos.
(a) É razoável tomar
como função densidade de probabilidade para a variável aleatória
?
(b) Qual a probabilidade de a bateria durar no máximo um ano?
© Qual a probabilidade de o tempo de duração da bateria estar compreendido entre 1 e 3 anos?
(d) Qual a probabilidade de a bateria durar mais de 3 anos?
(a) É razoável tomar
(b) Qual a probabilidade de a bateria durar no máximo um ano?
© Qual a probabilidade de o tempo de duração da bateria estar compreendido entre 1 e 3 anos?
(d) Qual a probabilidade de a bateria durar mais de 3 anos?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o tempo de duração de uma bateria que é representado por uma variável aleatória contínua
com uma função de densidade de probabilidade
. Nosso objetivo é analisar essa função e responder às perguntas (a) a (d). Para isso, vamos precisar entender o que é uma função de densidade de probabilidade e como calcular probabilidades usando essa função.
Passo 2
Parte (a): É razoável tomar
como função densidade de probabilidade para a variável aleatória
?
Para que
seja uma função de densidade de probabilidade válida, ela precisa satisfazer duas condições:
- Não-negatividade:
para todo . - Integral total igual a 1:
.
Vamos verificar essas condições:
-
Não-negatividade: Observando a função dada:Como
é sempre positivo e também, para todo . -
Integral total igual a 1:Portanto, a integral total é 1.
Como ambas as condições são satisfeitas, é razoável tomar
como função densidade de probabilidade para
.
Passo 3
Parte (b): Qual a probabilidade de a bateria durar no máximo um ano?
Queremos calcular
. Para isso, usamos a função de distribuição acumulada (FDC), que é a integral da função de densidade de probabilidade de
até
:
Vamos calcular essa integral:
Aplicando os limites de 0 a 1:
Passo 4
Parte ©: Qual a probabilidade de o tempo de duração da bateria estar compreendido entre 1 e 3 anos?
Aqui, queremos
. Isso é igual à diferença das probabilidades de
e
:
Calculamos cada parte:
-
- Já vimos que
Então:
Passo 5
Parte (d): Qual a probabilidade de a bateria durar mais de 3 anos?
Queremos
. Isso é igual a
:
Resposta
(a) Sim,
é uma função densidade de probabilidade válida.
(b) A probabilidade de a bateria durar no máximo um ano é
.
© A probabilidade de o tempo de duração da bateria estar entre 1 e 3 anos é
.
(d) A probabilidade de a bateria durar mais de 3 anos é
.