Suponha que o tempo de duração de um determinado tipo de bateria seja uma variável aleatória X contínua com função de densidade de probabilidade dada por:
f(x)=cc 13 e^-x3, & se x >= 0 0, & se x<0
sendo o tempo medido em anos.
(a) É razoável tomar f como função densidade de probabilidade para a variável aleatória X ?
(b) Qual a probabilidade de a bateria durar no máximo um ano?
© Qual a probabilidade de o tempo de duração da bateria estar compreendido entre 1 e 3 anos?
(d) Qual a probabilidade de a bateria durar mais de 3 anos?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o tempo de duração de uma bateria que é representado por uma variável aleatória contínua com uma função de densidade de probabilidade . Nosso objetivo é analisar essa função e responder às perguntas (a) a (d). Para isso, vamos precisar entender o que é uma função de densidade de probabilidade e como calcular probabilidades usando essa função.

Passo 2

Parte (a): É razoável tomar f(x) = 13 e^-x3, & se x >= 0 0, & se x < 0 como função densidade de probabilidade para a variável aleatória integral-infty^+infty f(x) , dx = integral0^+infty 13 e^-x3 , dx = [ -e^-x3 ]0^+infty = -(0 - 1) = 1 ?
Para que seja uma função de densidade de probabilidade válida, ela precisa satisfazer duas condições:
  1. Não-negatividade: para todo .
  2. Integral total igual a 1: .
Vamos verificar essas condições:
  1. Não-negatividade: Observando a função dada:
    Como é sempre positivo e também, para todo .
  2. Integral total igual a 1:
    Portanto, a integral total é 1.
Como ambas as condições são satisfeitas, é razoável tomar como função densidade de probabilidade para .

Passo 3

Parte (b): Qual a probabilidade de a bateria durar no máximo um ano?
Queremos calcular P(X <= 1) = integral0^1 13 e^-x3 , dx . Para isso, usamos a função de distribuição acumulada (FDC), que é a integral da função de densidade de probabilidade de integral 13 e^-x3 , dx = -e^-x3 + C até P(X <= 1) = [ -e^-x3 ]0^1 = -e^-13 - (-e^0) = 1 - e^-13 :
Vamos calcular essa integral:
Aplicando os limites de 0 a 1:

Passo 4

Parte ©: Qual a probabilidade de o tempo de duração da bateria estar compreendido entre 1 e 3 anos?
Aqui, queremos P(1 <= X <= 3) = P(X <= 3) - P(X <= 1) . Isso é igual à diferença das probabilidades de P(1 <= X <= 3) = (1 - e^-1) - (1 - e^-13) = e^-13 - e^-1 e :
Calculamos cada parte:
  1. Já vimos que
Então:

Passo 5

Parte (d): Qual a probabilidade de a bateria durar mais de 3 anos?
Queremos P(X > 3) = 1 - P(X <= 3) = 1 - (1 - e^-1) = e^-1 . Isso é igual a :

Resposta

(a) Sim, é uma função densidade de probabilidade válida.
(b) A probabilidade de a bateria durar no máximo um ano é .
© A probabilidade de o tempo de duração da bateria estar entre 1 e 3 anos é .
(d) A probabilidade de a bateria durar mais de 3 anos é .

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