Suponha que o tempo de duração de um determinado tipo de bateria seja uma variável aleatória contínua com função de densidade de probabilidade dada por:
sendo o tempo medido em anos.
(a) É razoável tomar como função densidade de probabilidade para a variável aleatória ?
(b) Qual a probabilidade de a bateria durar no máximo um ano?
© Qual a probabilidade de o tempo de duração da bateria estar compreendido entre 1 e 3 anos?
(d) Qual a probabilidade de a bateria durar mais de 3 anos?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o tempo de duração de uma bateria que é representado por uma variável aleatória contínua com uma função de densidade de probabilidade . Nosso objetivo é analisar essa função e responder às perguntas (a) a (d). Para isso, vamos precisar entender o que é uma função de densidade de probabilidade e como calcular probabilidades usando essa função.

Passo 2

Parte (a): É razoável tomar como função densidade de probabilidade para a variável aleatória ?
Para que seja uma função de densidade de probabilidade válida, ela precisa satisfazer duas condições:
  1. Não-negatividade: para todo .
  2. Integral total igual a 1: .
Vamos verificar essas condições:
  1. Não-negatividade: Observando a função dada:
    Como é sempre positivo e também, para todo .
  2. Integral total igual a 1:
    Portanto, a integral total é 1.
Como ambas as condições são satisfeitas, é razoável tomar como função densidade de probabilidade para .

Passo 3

Parte (b): Qual a probabilidade de a bateria durar no máximo um ano?
Queremos calcular . Para isso, usamos a função de distribuição acumulada (FDC), que é a integral da função de densidade de probabilidade de até :
Vamos calcular essa integral:
Aplicando os limites de 0 a 1:

Passo 4

Parte ©: Qual a probabilidade de o tempo de duração da bateria estar compreendido entre 1 e 3 anos?
Aqui, queremos . Isso é igual à diferença das probabilidades de e :
Calculamos cada parte:
  1. Já vimos que
Então:

Passo 5

Parte (d): Qual a probabilidade de a bateria durar mais de 3 anos?
Queremos . Isso é igual a :

Resposta

(a) Sim, é uma função densidade de probabilidade válida.
(b) A probabilidade de a bateria durar no máximo um ano é .
© A probabilidade de o tempo de duração da bateria estar entre 1 e 3 anos é .
(d) A probabilidade de a bateria durar mais de 3 anos é .

Exercícios relacionados

Seja a função dada por .
(a) Encontre a constante para que a seja uma função de probabilidade;
(b) Com o valor de encontrado, calcule e ;
© Calcule e .
Se o tempo médio entre um pedido e o atendimento em um restaurante é uma variável aleatória com distribuição exponencial com média 10 min , determine:
(a) Probabilidade da espera ser inferior a 10 min .
(b) Probabilidade da espera ser superior a 10 min .
Considere a função densidade de probabilidade dada por se e se . Determine e esboce o gráfico da função de distribuição .
Seja uma variável aleatória discreta bidimensional cuja distribuição de probabilidade conjunta é apresentada a seguir:
-1 0 1
-1
0 0 0 0 0
1 0
1
a) Obtenha a .
b) Obtenha a