Seja uma variável aleatória discreta bidimensional (X, Y) cuja distribuição de probabilidade conjunta é apresentada a seguir:
X / Y -1 0 1 P(X)
-1 16 13 16 23
0 0 0 0 0
1 16 0 16 13
P(Y) 13 13 13 1
a) Obtenha a COV(X, Y).
b) Obtenha a COV(3 X, X+Y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a distribuição de probabilidade conjunta de duas variáveis aleatórias discretas, e . O nosso objetivo aqui é calcular a covariância entre e no item (a), e depois uma covariância envolvendo combinações lineares de e no item (b). Para resolver isso, vamos precisar entender o que é covariância e como calcular médias e esperanças para variáveis aleatórias.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a covariância. A covariância entre duas variáveis aleatórias COV(X, Y) = E[XY] - E[X]E[Y] e mede como elas variam juntas. A fórmula da covariância é:
Então, precisamos calcular , e .

Passo 3

Vamos começar calculando E[X] = sumx x cdot P(X = x) , a esperança matemática de E[X] = (-1) cdot 23 + 0 cdot 0 + 1 cdot 13 = -23 + 0 + 13 = -13 . Para isso, usamos a fórmula:
Pela tabela, temos os valores de e suas probabilidades :
  • com
  • com
  • com
Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular E[Y] = sumy y cdot P(Y = y) , a esperança matemática de E[Y] = (-1) cdot 13 + 0 cdot 13 + 1 cdot 13 = -13 + 0 + 13 = 0 . Usamos a fórmula:
Pela tabela, os valores de e suas probabilidades são:
  • com
  • com
  • com
Então:

Passo 5

Agora, precisamos calcular E[XY] = sumx sumy x cdot y cdot P(X = x, Y = y) , que é a expectativa do produto de E[XY] = (-1)(-1) cdot 16 + (-1)(0) cdot 13 + (-1)(1) cdot 16 + 0 cdot (todas as probabilidades de ( Y ) quando ( X = 0 )) + 1(-1) cdot 16 + 1(0) cdot 0 + 1(1) cdot 16 e E[XY] = 1 cdot 16 + 0 + (-1) cdot 16 + 0 + (-1) cdot 16 + 0 + 1 cdot 16 = 16 - 16 - 16 + 16 = 0 . A fórmula é:
Vamos multiplicar cada combinação de e pelos seus respectivos :
Calculando cada termo:

Passo 6

Agora que temos COV(X, Y) = E[XY] - E[X]E[Y] = 0 - (-13)(0) = 0 , e , podemos substituir na fórmula da covariância:

Resposta

a) A covariância entre e é .

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