Seja uma variável aleatória discreta bidimensional cuja distribuição de probabilidade conjunta é apresentada a seguir:
-1 0 1
-1
0 0 0 0 0
1 0
1
a) Obtenha a .
b) Obtenha a

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a distribuição de probabilidade conjunta de duas variáveis aleatórias discretas, e . O nosso objetivo aqui é calcular a covariância entre e no item (a), e depois uma covariância envolvendo combinações lineares de e no item (b). Para resolver isso, vamos precisar entender o que é covariância e como calcular médias e esperanças para variáveis aleatórias.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a covariância. A covariância entre duas variáveis aleatórias e mede como elas variam juntas. A fórmula da covariância é:
Então, precisamos calcular , e .

Passo 3

Vamos começar calculando , a esperança matemática de . Para isso, usamos a fórmula:
Pela tabela, temos os valores de e suas probabilidades :
  • com
  • com
  • com
Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular , a esperança matemática de . Usamos a fórmula:
Pela tabela, os valores de e suas probabilidades são:
  • com
  • com
  • com
Então:

Passo 5

Agora, precisamos calcular , que é a expectativa do produto de e . A fórmula é:
Vamos multiplicar cada combinação de e pelos seus respectivos :
Calculando cada termo:

Passo 6

Agora que temos , e , podemos substituir na fórmula da covariância:

Resposta

a) A covariância entre e é .

Exercícios relacionados

Considere a função densidade de probabilidade dada por se e se . Determine e esboce o gráfico da função de distribuição .
Suponha que o tempo de duração de um determinado tipo de bateria seja uma variável aleatória contínua com função de densidade de probabilidade dada por:
sendo o tempo medido em anos.
(a) É razoável tomar como função densidade de probabilidade para a variável aleatória ?
(b) Qual a probabilidade de a bateria durar no máximo um ano?
© Qual a probabilidade de o tempo de duração da bateria estar compreendido entre 1 e 3 anos?
(d) Qual a probabilidade de a bateria durar mais de 3 anos?
Seja uma v.a. com f.d.p. dada por , se .
Calcule:
(a) Encontre para que seja uma f.d.p.
(b) Encontre sua f.d.a.
© Calcule a média e a variância de .
Determine para que a função dada seja uma função densidade de probabilidade:
(a) para e para .
(b) para todo real.
© para para ou .
(d) para todo real.
(e) para e para .