Seja uma variável aleatória discreta bidimensional
cuja distribuição de probabilidade conjunta é apresentada a seguir:
|
-1 | 0 | 1 |
|
---|---|---|---|---|
-1 |
|
|
|
|
0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
a) Obtenha a
.
b) Obtenha a
b) Obtenha a
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a distribuição de probabilidade conjunta de duas variáveis aleatórias discretas,
e
. O nosso objetivo aqui é calcular a covariância entre
e
no item (a), e depois uma covariância envolvendo combinações lineares de
e
no item (b). Para resolver isso, vamos precisar entender o que é covariância e como calcular médias e esperanças para variáveis aleatórias.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a covariância. A covariância entre duas variáveis aleatórias
e
mede como elas variam juntas. A fórmula da covariância é:
Então, precisamos calcular
,
e
.
Passo 3
Vamos começar calculando
, a esperança matemática de
. Para isso, usamos a fórmula:
Pela tabela, temos os valores de
e suas probabilidades
:
-
com -
com -
com
Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular
, a esperança matemática de
. Usamos a fórmula:
Pela tabela, os valores de
e suas probabilidades
são:
-
com -
com -
com
Então:
Passo 5
Agora, precisamos calcular
, que é a expectativa do produto de
e
. A fórmula é:
Vamos multiplicar cada combinação de
e
pelos seus respectivos
:
Calculando cada termo:
Passo 6
Agora que temos
,
e
, podemos substituir na fórmula da covariância:
Resposta
a) A covariância entre
e
é
.