Seja uma variável aleatória discreta bidimensional
cuja distribuição de probabilidade conjunta é apresentada a seguir:
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-1 | 0 | 1 |
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---|---|---|---|---|
-1 |
|
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0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
1 |
|
0 |
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|
|
|
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1 |
a) Obtenha a
.
b) Obtenha a
b) Obtenha a
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a distribuição de probabilidade conjunta de duas variáveis aleatórias discretas,
e
. O nosso objetivo aqui é calcular a covariância entre
e
no item (a), e depois uma covariância envolvendo combinações lineares de
e
no item (b). Para resolver isso, vamos precisar entender o que é covariância e como calcular médias e esperanças para variáveis aleatórias.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a covariância. A covariância entre duas variáveis aleatórias
e
mede como elas variam juntas. A fórmula da covariância é:
Então, precisamos calcular
,
e
.
Passo 3
Vamos começar calculando
, a esperança matemática de
. Para isso, usamos a fórmula:
Pela tabela, temos os valores de
e suas probabilidades
:
-
com -
com -
com
Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular
, a esperança matemática de
. Usamos a fórmula:
Pela tabela, os valores de
e suas probabilidades
são:
-
com -
com -
com
Então:
Passo 5
Agora, precisamos calcular
, que é a expectativa do produto de
e
. A fórmula é:
Vamos multiplicar cada combinação de
e
pelos seus respectivos
:
Calculando cada termo:
Passo 6
Agora que temos
,
e
, podemos substituir na fórmula da covariância:
Resposta
a) A covariância entre
e
é
.
Exercícios relacionados
Considere a função densidade de probabilidade dada por
se
e
se
. Determine e esboce o gráfico da função de distribuição
.
Suponha que o tempo de duração de um determinado tipo de bateria seja uma variável aleatória
contínua com função de densidade de probabilidade dada por:
sendo o tempo medido em anos.
(a) É razoável tomar como função densidade de probabilidade para a variável aleatória
?
(b) Qual a probabilidade de a bateria durar no máximo um ano?
© Qual a probabilidade de o tempo de duração da bateria estar compreendido entre 1 e 3 anos?
(d) Qual a probabilidade de a bateria durar mais de 3 anos?
(a) É razoável tomar
(b) Qual a probabilidade de a bateria durar no máximo um ano?
© Qual a probabilidade de o tempo de duração da bateria estar compreendido entre 1 e 3 anos?
(d) Qual a probabilidade de a bateria durar mais de 3 anos?
Seja uma v.a.
com f.d.p. dada por
, se
.
Calcule:
(a) Encontre para que
seja uma f.d.p.
(b) Encontre sua f.d.a.
© Calcule a média e a variância de .
Calcule:
(a) Encontre
(b) Encontre sua f.d.a.
© Calcule a média e a variância de
Determine
para que a função dada seja uma função densidade de probabilidade:
(a) para
e
para
.
(b) para todo
real.
© para
para
ou
.
(d) para todo
real.
(e) para
e
para
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)