Considere z=f(x, y, z) uma função diferenciável tal que
nabla f(4 pi, 2pi, 0)=(2,1,3). Se uma partícula se locomove segundo a trajetória x=t u^2, y=ut e z=e^u t sen(t). Calcule partial fpartial t para u=2 e t=pi.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma função diferenciável com o gradiente . Uma partícula está se movendo ao longo da trajetória dada por:
Nos pedem para calcular a derivada parcial de em relação a ( ) no ponto onde e .
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de derivada total e aplicar a regra da cadeia, que ajuda a encontrar como uma função composta muda em relação a uma variável específica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que dfdt = partial fpartial x dxdt + partial fpartial y dydt + partial fpartial z dzdt representa como a função muda quando varia, mantendo constante. Para encontrar isso, usamos a derivada total:
Aqui, , e são as componentes do gradiente de .

Passo 3

Sabemos que o gradiente no ponto é . Isso significa que:
Agora, precisamos calcular as derivadas de , e em relação a .

Passo 4

Vamos calcular cada derivada:
  1. Para dxdt = u^2 :
dydt = -ut^2
  1. Para dzdt = e^u sen(t) + e^u t cos(t) :
  1. Para :
    Usamos a regra do produto:

Passo 5

Agora, vamos substituir dzdt = 0 + e^2e pi (-1) = -pi e^2e e nas derivadas calculadas:
Sabemos que e , então:

Passo 6

Finalmente, aplicamos a fórmula da derivada total que mencionamos no Passo 2:
partial fpartial t = partial fpartial x dxdt + partial fpartial y dydt + partial fpartial z dzdt
Substituindo os valores:
partial fpartial t = 2 cdot 4e^2 + 1 cdot (-2epi^2) + 3 cdot (-pi e^2e)
Calculando cada termo:
2 cdot 4e^2 = 8e^2
1 cdot (-2epi^2) = -2epi^2
3 cdot (-pi e^2e) = -3pi e^2e
Juntando tudo:
partial fpartial t = 8e^2 - 2epi^2 - 3pi e^2e

Resposta

partial fpartial t = 8e^2 - 2epi^2 - 3pi e^2e

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