Considere
uma função diferenciável tal que
. Se uma partícula se locomove segundo a trajetória
e
. Calcule
para
.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma função diferenciável
com o gradiente
. Uma partícula está se movendo ao longo da trajetória dada por:
Nos pedem para calcular a derivada parcial de
em relação a
(
) no ponto onde
e
.
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de derivada total e aplicar a regra da cadeia, que ajuda a encontrar como uma função composta muda em relação a uma variável específica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que
representa como a função
muda quando
varia, mantendo
constante. Para encontrar isso, usamos a derivada total:
Aqui,
,
e
são as componentes do gradiente de
.
Passo 3
Sabemos que o gradiente
no ponto
é
. Isso significa que:
Agora, precisamos calcular as derivadas de
,
e
em relação a
.
Passo 4
Vamos calcular cada derivada:
- Para
:
- Para
:
- Para :
Usamos a regra do produto:
Passo 5
Agora, vamos substituir
e
nas derivadas calculadas:
Sabemos que e
, então:
Passo 6
Finalmente, aplicamos a fórmula da derivada total que mencionamos no Passo 2:
Substituindo os valores:
Calculando cada termo:
Juntando tudo: