A função v(x, y) = 9 - x^2 - (y - 1)^2 descreve a velocidade do vento durante a passagem de um furacão numa determinada região e Victor está em um veículo no ponto P = (1, 3) tentando fugir.
Esboce as curvas de nível da função v para k=0, k=5 e k = 8.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que representa a velocidade do vento durante um furacão numa região. O Victor está no ponto P = (1, 3) tentando escapar. Nosso objetivo aqui é esboçar as curvas de nível dessa função para os valores k = 0, k = 5 e k = 8. Isso vai nos ajudar a visualizar como a velocidade do vento varia nessa área.

Passo 2

Primeiro, o que são curvas de nível? Imagina que a função v(x, y) nos dá a velocidade do vento em cada ponto (x, y) da região. As curvas de nível são os conjuntos de pontos onde a velocidade do vento é constante, ou seja, onde , sendo k um valor fixo. Essas curvas ajudam a entender como a velocidade do vento está distribuída no espaço.

Passo 3

Vamos começar configurando a equação das curvas de nível para cada valor de k. Isso significa que vamos igualar a função v(x, y) a cada um desses valores:

Passo 4

Agora, vamos rearranjar essa equação para deixar a equação de uma forma mais familiar. Vamos mover o x^2 e para o outro lado:
Essa é a equação de um círculo com centro em 0,1 e raio . Isso significa que, para cada valor de k, a curva de nível será um círculo diferente.

Passo 5

Vamos calcular o raio para cada valor de k:
  • Para k = 0:
    Raio:
  • Para k = 5:
    Raio:
  • Para k = 8:
    Raio:

Passo 6

Então, resumindo:
  • A curva de nível para k = 0 é um círculo com centro em 0,1 e raio .
  • A curva de nível para k = 5 é um círculo com centro em 0,1 e raio .
  • A curva de nível para k = 8 é um círculo com centro em 0,1 e raio 1.
Esses círculos vão se concentrar no ponto 0,1, e o Victor está no ponto 1,3, que está fora de todos esses círculos, indicando que ele está numa região com diferentes velocidades de vento enquanto tenta escapar.

Resposta

As curvas de nível da função v(x, y) para k = 0, k = 5 e k = 8 são círculos centrados em 0,1 com raios , e 1, respectivamente. Esses círculos representam regiões com velocidades de vento constantes de 0, e unidades, ajudando a visualizar como Victor pode navegar para fugir do furacão.

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