Considere a função para diferentes domínios ; e . Determine a imagem dessa função para cada um dos domínios anteriores.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função e precisamos encontrar a imagem dessa função para diferentes intervalos de . A imagem é basicamente os possíveis valores de quando varia nesses intervalos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções quadráticas e entender como elas se comportam em diferentes intervalos. Vamos passo a passo descobrir a imagem para cada domínio dado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . Essa é uma função quadrática que sempre gera valores não negativos, já que qualquer número ao quadrado é positivo ou zero. O gráfico dessa função é uma parábola que abre para cima, com o vértice no ponto (0,0).

Passo 3

Agora, vamos analisar cada intervalo e determinar a imagem correspondente.
1. Intervalo :
  • Para encontrar a imagem, precisamos calcular para todo nesse intervalo.
  • O menor valor de é -2 e o maior é 2.
  • Calculando:
    • No meio,
  • Como a parábola tem o menor valor em e aumenta para os extremos, a imagem vai de 0 a 4.
Imagem de :
2. Intervalo :
  • Aqui, varia de 0 a 3.
  • Calculando:
  • A função aumenta continuamente nesse intervalo.
Imagem de :
3. Intervalo :
  • varia de -1 a 4.
  • Calculando:
    • No meio,
  • O menor valor ocorre em e o maior em .
Imagem de :
4. Intervalo :
  • Aqui, é menor ou igual a -8.
  • Calculando:
    • Conforme fica mais negativo, aumenta sem limite.
  • Portanto, a imagem começa em 64 e vai até o infinito.
Imagem de :

Resposta

As imagens da função para os intervalos dados são:
  • :
  • :
  • :
  • :

Exercícios relacionados

Seja . Determine:
(a) ; para quais valores de faz sentido essa composição?.
(b) ,
© ,
(d) ,
(e) .
Determine o domínio das seguintes funções:
(a)
(b) ,
©
(d) .
Mostre que se é uma função bijetóra então sua função inversa é única.
Determine as composições e , para cada uma das funções a seguir, indicando em cada caso o domínio correspondente:
(a) .
(b) .
© .
(d) .
[Lembre que o Dominio de ]