Considere a função f(x) = x^2 para diferentes domínios I1=-2 ; 2 ; I2=0 ; 3 ; I3=-1 ; 4; e I5 = (-∞ ; -8]. Determine a imagem dessa função para cada um dos domínios anteriores.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função e precisamos encontrar a imagem dessa função para diferentes intervalos de . A imagem é basicamente os possíveis valores de quando varia nesses intervalos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções quadráticas e entender como elas se comportam em diferentes intervalos. Vamos passo a passo descobrir a imagem para cada domínio dado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . Essa é uma função quadrática que sempre gera valores não negativos, já que qualquer número ao quadrado é positivo ou zero. O gráfico dessa função é uma parábola que abre para cima, com o vértice no ponto (0,0).

Passo 3

Agora, vamos analisar cada intervalo e determinar a imagem correspondente.
1. Intervalo :
  • Para encontrar a imagem, precisamos calcular para todo nesse intervalo.
  • O menor valor de é -2 e o maior é 2.
  • Calculando:
    • No meio,
  • Como a parábola tem o menor valor em e aumenta para os extremos, a imagem vai de 0 a 4.
Imagem de :
2. Intervalo :
  • Aqui, varia de 0 a 3.
  • Calculando:
  • A função aumenta continuamente nesse intervalo.
Imagem de :
3. Intervalo :
  • varia de -1 a 4.
  • Calculando:
    • No meio,
  • O menor valor ocorre em e o maior em .
Imagem de :
4. Intervalo :
  • Aqui, é menor ou igual a -8.
  • Calculando:
    • Conforme fica mais negativo, aumenta sem limite.
  • Portanto, a imagem começa em 64 e vai até o infinito.
Imagem de :

Resposta

As imagens da função para os intervalos dados são:
  • :
  • :
  • :
  • :

Exercícios relacionados