Considere a função
para diferentes domínios
; e
. Determine a imagem dessa função para cada um dos domínios anteriores.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
e precisamos encontrar a imagem dessa função para diferentes intervalos de
. A imagem é basicamente os possíveis valores de
quando
varia nesses intervalos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções quadráticas e entender como elas se comportam em diferentes intervalos. Vamos passo a passo descobrir a imagem para cada domínio dado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. Essa é uma função quadrática que sempre gera valores não negativos, já que qualquer número ao quadrado é positivo ou zero. O gráfico dessa função é uma parábola que abre para cima, com o vértice no ponto (0,0).
Passo 3
Agora, vamos analisar cada intervalo e determinar a imagem correspondente.
1. Intervalo
:
- Para encontrar a imagem, precisamos calcular
para todo nesse intervalo. - O menor valor de
é -2 e o maior é 2. - Calculando:
-
-
- No meio,
-
- Como a parábola tem o menor valor em
e aumenta para os extremos, a imagem vai de 0 a 4.
Imagem de
:
2. Intervalo
:
- Aqui,
varia de 0 a 3. - Calculando:
-
- A função aumenta continuamente nesse intervalo.
Imagem de
:
3. Intervalo
:
-
varia de -1 a 4. - Calculando:
-
-
- No meio,
-
- O menor valor ocorre em
e o maior em .
Imagem de
:
4. Intervalo
:
- Aqui,
é menor ou igual a -8. - Calculando:
-
- Conforme
fica mais negativo, aumenta sem limite.
-
- Portanto, a imagem começa em 64 e vai até o infinito.
Imagem de
:
Resposta
As imagens da função
para os intervalos dados são:
-
: -
: -
: -
: