Considere uma função y = f(x) duas vezes diferenciável com as seguintes propriedades:
x y Derivadas
x < 2 y' < 0, y'' > 0
x = 2 y = 1 y' = 0, y'' > 0
2 < x < 4 y' > 0, y'' > 0
x = 4 y = 4 y' > 0, y'' = 0
4 < x < 6 y' > 0, y'' < 0
x = 6 y = 7 y' = 0, y'' < 0
x > 6 y' < 0, y'' < 0
Diga os intervalos em que f(x) é crescente e decrescente. Justifique.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que pode ser diferenciada duas vezes e recebemos informações sobre suas derivadas em diferentes intervalos de x. A tarefa é descobrir em quais intervalos essa função está crescente ou decrescente. Para isso, vamos usar o conceito de derivada primeira.

Passo 2

Primeiro, é importante saber o que significa uma função ser crescente ou decrescente:
  • Função Crescente: Se a derivada primeira em um intervalo, isso significa que, conforme x aumenta, também aumenta. Portanto, a função está crescente nesse intervalo.
  • Função Decrescente: Se a derivada primeira em um intervalo, significa que, conforme x aumenta, diminui. Assim, a função está decrescente nesse intervalo.
Vamos analisar a tabela fornecida para identificar onde a derivada primeira é positiva ou negativa.

Passo 3

Vamos olhar para a tabela e focar apenas na derivada primeira :
x y Derivadas
x < 2
x = 2 y = 1
x = 4 y = 4
x = 6 y = 7
x > 6
Agora, interpretando cada intervalo:
  • Para :
    A derivada é negativa, então a função está decrescente.
  • Para :
    A derivada é positiva, então a função está crescente.
  • Para :
    A derivada continua positiva, a função permanece crescente.
  • Para :
    A derivada se torna negativa novamente, então a função está decrescente.
Nos pontos x = 2, x = 4 e x = 6, a derivada primeira é zero. Esses são pontos onde a função pode mudar de crescente para decrescente ou vice-versa, mas como estamos analisando os intervalos, focamos nos intervalos entre esses pontos.

Resposta

A função f(x) é:
  • Decrescente nos intervalos e .
  • Crescente no intervalo .

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