Considere uma função
duas vezes diferenciável com as seguintes propriedades:
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Derivadas |
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Diga os intervalos em que
é crescente e decrescente. Justifique.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
que pode ser diferenciada duas vezes e recebemos informações sobre suas derivadas em diferentes intervalos de
. A tarefa é descobrir em quais intervalos essa função está crescente ou decrescente. Para isso, vamos usar o conceito de derivada primeira.
Passo 2
Primeiro, é importante saber o que significa uma função ser crescente ou decrescente:
-
Função Crescente: Se a derivada primeira
em um intervalo, isso significa que, conforme aumenta, também aumenta. Portanto, a função está crescente nesse intervalo. -
Função Decrescente: Se a derivada primeira
em um intervalo, significa que, conforme aumenta, diminui. Assim, a função está decrescente nesse intervalo.
Vamos analisar a tabela fornecida para identificar onde a derivada primeira é positiva ou negativa.
Passo 3
Vamos olhar para a tabela e focar apenas na derivada primeira
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Derivadas |
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Agora, interpretando cada intervalo:
-
Para
:
A derivada é negativa, então a função está decrescente. -
Para
:
A derivada é positiva, então a função está crescente. -
Para
:
A derivada continua positiva, a função permanece crescente. -
Para
:
A derivada se torna negativa novamente, então a função está decrescente.
Nos pontos
,
e
, a derivada primeira é zero. Esses são pontos onde a função pode mudar de crescente para decrescente ou vice-versa, mas como estamos analisando os intervalos, focamos nos intervalos entre esses pontos.
Resposta
A função
é:
- Decrescente nos intervalos
e . - Crescente no intervalo
.